Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Группу с заданными порождающими элементами и определяющими соотношениями обозначают символом где слева от вертикальной линии стоят порождающие элементы, а справа — определяющие соотношения. Например, циклическую группу Cn можно записать в виде
Cn = {а\ап=е), § 1. Элементарные понятия теории групп
17
а группу диэдра — в виде
Dn = {а, VI а" = е, а2 = е, аег = <га-1).
Задача 1. Покажите, что группа G = (о, 6|о" = е,Ьт = е,а6 = 6а) коммутативна и имеет тп элементов.
Можно показать, что группа SX(n,Z) всех матриц (° Jj) с целочисленными элементами и единичным определителем порождается двумя матрицами
4-Ї -D
с определяющими соотношениями
A4 = E, B3 = Е, A2B = BA2,
где E — единичная матрица.
Бесконечная циклическая группа C00 записывается в виде C00 = (а I ), то есть она имеет один порождающий элемент, который не удовлетворяет никаким соотношениям. Обобщением группы C00 является группа Fn = (ui, а2,... , ап| ), порождаемая п элементами, не имеющими определяющих соотношений. Элементами группы Fn являются произвольные конечные произведения элементов 01,02,... ,ап, взятых произвольное число раз и в произвольном порядке. Группу Fn называют свободной.
Группа
Fn = (ai,a2,-.. ,а„IUiUj = Ujai)
коммутативна. Ее называют свободной коммутативной группой.
1.4. Изоморфизмы и гомоморфизмы. Инвариантные подгруппы. Группы G и G' называют изоморфными (обозначают G ~ G'), если существует взаимно однозначное отображение tp группы G на группу G', сохраняющее групповую операцию, то есть такое, что для всех g\,gi Є G имеем
4>{g\)4>{gl) = <P(glg2)- 18
Глава 1
Отображение tp называется изоморфизмом групп G и G'. Изоморфные конечные группы имеют одинаковое число элементов. Более того, изоморфные группы фактически совпадают как абстрактные группы. Изоморфными являются группы К и К+ (изоморфизм задается функцией <р(х) = ех), Cn и Cn (см. п. 1.2).
Рассматривают также изоморфизмы группы G в группу G'. В этом случае G отображается на часть группы G'.
Изоморфизмы группы G на себя называют автоморфизмами этой группы. Множество всех автоморфизмов группы G образует группу, обозначаемую через Aut G. Умножением в этой группе является последовательное выполнение автоморфизмов.
Пример 1. Пусть
G = (a, b\a2 = е, Ь3 = е, ab = Ьа, ab2 = b2a).
Тогда G = {є, a, b, b2, ab, ab2}. Переобозначим элементы группы G, положив z = ab2. Тогда
2 21 зі 1 з .3 4 ,2 5 . 6 2 ,3
z = a b b = о, Z = ab = a, z = о , z = ab, z = a =D = е. Таким образом, группа G изоморфна циклической группе Св.
Отображение ф группы G в группу G' называют гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую операцию, то єсть Ф{?і)Ф(Ет) = Ф{ёIg2) для всех gi,g2 Є G. В отличие от изоморфизма гомоморфизм может быть не взаимно однозначным.
Пусть Go — подмножество всех элементов группы G, переходящих при гомоморфизме ф в единицу е' группы Gr: Go = {g Є GІ ф^) = е'}, a G11 — подмножество элементов из G', на которое отображается группа G: G11 = ф(С). Подмножество Go называется ядром гомоморфизма ф и обозначается через кег^. Подмножество G11 называется образом гомоморфизма и обозначается через Im ф. Если рассматривается гомоморфизм G на G', то G11 = G'.
Теорема 1. Подмножества Go и G11 являются подгруппами соответственно в G и G'. Для любых go є Go и g є G элемент ggog-1 принадлежит G0- § 1. Элементарные понятия теории групп
19
Доказательство. Доказательство этой теоремы простое. Приведем его как пример подобных доказательств. Покажем сначала, что Go — подгруппа. Действительно, если ip(gi) = е', ^fe) = е', то ^(gigi) = ф^і)ф^) - е'е' = е'. Это значит, что gigz Є Go- Закон ассоциативности в Go выполняется автоматически, поскольку он выполняется во всей группе G. Для произвольного g Є G имеем ф(?) = ф^е) = = ф(ё)ф(е), то есть ф(е) = е'. Таким образом, е Є Go- Поскольку е' = ф(е) = ф(gg~1) = ф^ф^"1), то для всякого g&G имеем ф^'1) = [tfrig)]-1- Таким образом, если g Є G0, то Vfe1) = е' и g~x Є Go- Мы доказали, что Go — подгруппа. Аналогично устанавливается, что Gr1 — подгруппа. Последнее утверждение теоремы проверяется следующим образом. Если go Є G0, g Є G, то
Mggbg"1) = i>{g)i>{gM{g'1) = ^(g-ЖйГ1) = є'. А это означает, что ggogЄ Go- Теорема доказана.
Пример 2. Группу всех невырожденных линейных преобразований пространства Rn обозначают через GL(n,R), а ее подгруппу, состоящую из матриц с единичным определителем, — через SL(n,R). Сопоставление матрицы с ее детерминантом — гомоморфизм группы GL(n,R) на мультипликативную группу вещественных чисел Ro = R\{0}. Подгруппа SL(n,R) является ядром этого гомоморфизма.
Пример 3. Функция <р(х) = е2"1Х осуществляет гомоморфизм аддитивной группы R вещественных чисел в мультипликативную группу комплексных чисел Со = С\{0}. Образом этого гомоморфизма является группа C(I) = {z Є С| |z| = 1}, изоморфная группе SO(2), а ядром — подгруппа Z целых чисел.
Пусть gi — фиксированный элемент группы G. Элементы g Є G и giggi1 называют сопряженными. Отображение ipgl: g -» giggi1 является автоморфизмом группы G. Такие автоморфизмы называют внутренными.
