Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(х',у') = <г(х,у)(х,у).
Группа конформных преобразований плоскости бесконечномерна. Ее элементами являются пары функций, осуществляющих отображение X1 -? X11 = fi(xj.,x2), х2 —> X12 = Z2(X1JX2) и удовлетворяющих условию Коши-Римана
dh = dh df1==_df2 Dx1 дх2' дх2 дх\'
Во всех других случаях, то есть в пространствах En, п > 2, конформные преобразования зависят от конечного числа параметров и сводятся к линейным преобразованиям в пространстве Еп+2.§ 1. Элементарные понятия теории групп
13
5. Рассмотрим множество Cn комплексных чисел Z[, I = 0,1,2,..., п — 1, являющихся решениями алгебраического уравнения zn = 1. Очевидно, что z,- = ехр = (z1)1. Поэтому это множество является группой относительно умножения чисел. Это пример так называемой циклической группы. В общем случае циклической называют группу, порожденную одним элементом а:
Cn = {е,а,а2,... ,а"-1}.
В ней а* Ф аесли j ф i, i<n, j<n и а" = е. Если число п простое, то Cn не имеет собственных подгрупп (то есть подгрупп, отличных от {е} и Cn). Если п не является простым числом, то каждому делителю числа п соответствует подгруппа в Cn. Числу т, являющемуся делителем числа п, соответствует подгруппа элементов (am)k, к — 0,1,... , ^ — 1. Эта подгруппа циклична. Если G — группа (не обязательно абелева) и а — элемент из G, то говорят, что а имеет порядок п, если а порождает циклическую группу порядка п. Если а имеет порядок 2, то а-1 = а. Для элементов порядка п имеем а-1 = а"-1.
Рассматривают также бесконечные циклические группы. Они состоят из элементов е,ап,аГп, п = 1,2,... Если элемент а группы G порождает подгруппу бесконечного порядка, то говорят, что а имеет бесконечный порядок.
Группу Cn = Iехр J можно реализовать как подгруппу
"¦{(її "З)—--iI
в 50(2). Очевидно, что имеет место взаимно однозначное соответствие между элементами групп Cn и числами Zi Є С'п. Здесь мы имеем дело с изоморфизмом групп, который рассматривается дальше.
6. Элементы группы Cn переводят правильный п-уголь-ник в себя. Но эта группа не исчерпывает все симметрии правильного n-угольника. Полная группа симметрий обозначается через Dn. Кроме вращений gi Є Cn на углы 27гі/п14
Глава 1
она содержит зеркальные отображения относительно плоскости, перпендикулярной плоскости тг-угольника, и проходит через противоположные вершины или через середины противоположных сторон в случае четного п и через вершины и центр n-угольника в случае нечетного п. Порядок группы Dn равен 2п. Группу Dn называют группой диэдра.
6а. Группа D2 является группой симметрий отрезка — вырожденного диэдра. Она порождается элементом а порядка 2, соответствующим вращению на угол 180° в плоскости {х, у} и зеркальным отображением а относительно плос-
Рис. 1 Рис. 2
кости, проходящей через середину отрезка AB. Группа D2 имеет четыре элемента и ее можно реализовать как группу диагональных 2x2 матриц
-G -i),<r=(~o О'<ra=o<r=6 -9"
В физических приложениях группа D2 — это группа симметрий молекулы воды (см. рис. 1).
66. Группа ?)3 является группой симметрий правильного треугольника (см. рис. 2). Эта группа содержит циклическую§ 1. Элементарные понятия теории групп
15
подгруппу Сз — {е, г(2я-/3), г(-27г/3) = г2(27г/3)}, состоящую из вращений г(в) на соответствующие углы в. Действие элементов этой подгруппы можно представить как циклическую перестановку букв А, В, С:
е: ABC ^ ABC, г(2тг/3): ABC ->¦ CAB, г(-2тг/3) :АВС ВС А.
Группа D3 также содержит отображения относительно плоскостей, которые пересекают треугольник по отрезкам AN, BK, СМ. Они задаются перестановками
ста - ABС ACВ, (тв: ABC ^CB А, ас -.ABC ВАС.
Полная информация о группе D3 дается таблицей умножения ее элементов (см. табл. 1). Такие таблицы имеют название таблиц Кэли, по имени английского математика прошлого столетия (1821-1895), одного из основателей теории групп.
Из табл. 1 видно, что для задания группы D3 достаточно задать подгруппу C3 и один из элементов а Є {<та,(?в,(Тс}; остальные элементы являются произведениями г(±27г/3)<т. Кроме того, для каждого а имеет место соотношение
"Иг) —
Подгруппы Н, для которых выполняются соотношения подобного типа, то есть gHg-1 С H для каждого элемента g из группы G, называют инвариантными подгруппами или нормальными делителями. О них речь пойдет дальше.
1.3. Задание группы порождающими элементами и соотношениями. Множество E элементов группы G называют системой порождающих элементов для группы G, если всякий элемент g є G является произведением конечного числа элементов, каждый из которых является или элементом из E или обратным к элементу из Е. Очевидно, что множество16
Глава 1
всех элементов группы образует систему порождающих элементов. Однако интерес представляют минимальные системы порождающих элементов.
Таблица 1 (Таблица Кэли)
е г( ?) гігЧ) VA VB Vc
е е г Нг) VA VB Vc
е Vb VC VA
є г(Ч) Vc Va Vb
VA Va VC VB е *{-Ч)
VB (гв VA Vc г-т е
ас VC VB VA є
Чтобы минимальная система порождающих элементов определяла группу, задают соотношения, которым удовлетворяют эти элементы. Минимальную систему таких соотношений называют определяющими соотношениями.