Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 4

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 154 >> Следующая


(х',у') = <г(х,у)(х,у).

Группа конформных преобразований плоскости бесконечномерна. Ее элементами являются пары функций, осуществляющих отображение X1 -? X11 = fi(xj.,x2), х2 —> X12 = Z2(X1JX2) и удовлетворяющих условию Коши-Римана

dh = dh df1==_df2 Dx1 дх2' дх2 дх\'

Во всех других случаях, то есть в пространствах En, п > 2, конформные преобразования зависят от конечного числа параметров и сводятся к линейным преобразованиям в пространстве Еп+2. § 1. Элементарные понятия теории групп

13

5. Рассмотрим множество Cn комплексных чисел Z[, I = 0,1,2,..., п — 1, являющихся решениями алгебраического уравнения zn = 1. Очевидно, что z,- = ехр = (z1)1. Поэтому это множество является группой относительно умножения чисел. Это пример так называемой циклической группы. В общем случае циклической называют группу, порожденную одним элементом а:

Cn = {е,а,а2,... ,а"-1}.

В ней а* Ф аесли j ф i, i<n, j<n и а" = е. Если число п простое, то Cn не имеет собственных подгрупп (то есть подгрупп, отличных от {е} и Cn). Если п не является простым числом, то каждому делителю числа п соответствует подгруппа в Cn. Числу т, являющемуся делителем числа п, соответствует подгруппа элементов (am)k, к — 0,1,... , ^ — 1. Эта подгруппа циклична. Если G — группа (не обязательно абелева) и а — элемент из G, то говорят, что а имеет порядок п, если а порождает циклическую группу порядка п. Если а имеет порядок 2, то а-1 = а. Для элементов порядка п имеем а-1 = а"-1.

Рассматривают также бесконечные циклические группы. Они состоят из элементов е,ап,аГп, п = 1,2,... Если элемент а группы G порождает подгруппу бесконечного порядка, то говорят, что а имеет бесконечный порядок.

Группу Cn = Iехр J можно реализовать как подгруппу

"¦{(її "З)—--iI

в 50(2). Очевидно, что имеет место взаимно однозначное соответствие между элементами групп Cn и числами Zi Є С'п. Здесь мы имеем дело с изоморфизмом групп, который рассматривается дальше.

6. Элементы группы Cn переводят правильный п-уголь-ник в себя. Но эта группа не исчерпывает все симметрии правильного n-угольника. Полная группа симметрий обозначается через Dn. Кроме вращений gi Є Cn на углы 27гі/п 14

Глава 1

она содержит зеркальные отображения относительно плоскости, перпендикулярной плоскости тг-угольника, и проходит через противоположные вершины или через середины противоположных сторон в случае четного п и через вершины и центр n-угольника в случае нечетного п. Порядок группы Dn равен 2п. Группу Dn называют группой диэдра.

6а. Группа D2 является группой симметрий отрезка — вырожденного диэдра. Она порождается элементом а порядка 2, соответствующим вращению на угол 180° в плоскости {х, у} и зеркальным отображением а относительно плос-

Рис. 1 Рис. 2

кости, проходящей через середину отрезка AB. Группа D2 имеет четыре элемента и ее можно реализовать как группу диагональных 2x2 матриц

-G -i),<r=(~o О'<ra=o<r=6 -9"

В физических приложениях группа D2 — это группа симметрий молекулы воды (см. рис. 1).

66. Группа ?)3 является группой симметрий правильного треугольника (см. рис. 2). Эта группа содержит циклическую § 1. Элементарные понятия теории групп

15

подгруппу Сз — {е, г(2я-/3), г(-27г/3) = г2(27г/3)}, состоящую из вращений г(в) на соответствующие углы в. Действие элементов этой подгруппы можно представить как циклическую перестановку букв А, В, С:

е: ABC ^ ABC, г(2тг/3): ABC ->¦ CAB, г(-2тг/3) :АВС ВС А.

Группа D3 также содержит отображения относительно плоскостей, которые пересекают треугольник по отрезкам AN, BK, СМ. Они задаются перестановками

ста - ABС ACВ, (тв: ABC ^CB А, ас -.ABC ВАС.

Полная информация о группе D3 дается таблицей умножения ее элементов (см. табл. 1). Такие таблицы имеют название таблиц Кэли, по имени английского математика прошлого столетия (1821-1895), одного из основателей теории групп.

Из табл. 1 видно, что для задания группы D3 достаточно задать подгруппу C3 и один из элементов а Є {<та,(?в,(Тс}; остальные элементы являются произведениями г(±27г/3)<т. Кроме того, для каждого а имеет место соотношение

"Иг) —

Подгруппы Н, для которых выполняются соотношения подобного типа, то есть gHg-1 С H для каждого элемента g из группы G, называют инвариантными подгруппами или нормальными делителями. О них речь пойдет дальше.

1.3. Задание группы порождающими элементами и соотношениями. Множество E элементов группы G называют системой порождающих элементов для группы G, если всякий элемент g є G является произведением конечного числа элементов, каждый из которых является или элементом из E или обратным к элементу из Е. Очевидно, что множество 16

Глава 1

всех элементов группы образует систему порождающих элементов. Однако интерес представляют минимальные системы порождающих элементов.

Таблица 1 (Таблица Кэли)

е г( ?) гігЧ) VA VB Vc
е е г Нг) VA VB Vc
е Vb VC VA
є г(Ч) Vc Va Vb
VA Va VC VB е *{-Ч)
VB (гв VA Vc г-т е
ас VC VB VA є

Чтобы минимальная система порождающих элементов определяла группу, задают соотношения, которым удовлетворяют эти элементы. Минимальную систему таких соотношений называют определяющими соотношениями.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed