Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
г) Для каждого элемента g? G существует обратный элемент g_1 Є G, то есть такой, что gg~l = g~lg = е.
Групповая операция, удовлетворяющая перечисленным условиям, естественным образом определяет два отображения. Первое из них /: G х G —> G является отображением декартового произведения двух экземпляров группы в группу= /(ЯъЯг) = gig2- Второе отображение j: G G каждому элементу g сопоставляет обратный к нему: j(g) =
Подмножество H элементов группы G называют подгруппой, если оно является группой относительно введенной в G операции, то есть если е Є Н, Iiih2 Є H и /і-1 є H для всех hi, h2,h из Н. 10
Глава 1
Результат группового умножения в общем случае зависит от порядка следования сомножителей. Если для любых элементов gi и gi имеем gig2 — g2gi, то группу называют коммутативной или абелевой. Часто в абелевых группах операцию обозначают знаком плюс: gi + g2 = g3 и называют сложением.
Если число элементов группы конечно, то группу называют конечной, а число элементов в ней — порядком группы. Порядок конечной группы G обозначают через ord G. Бесконечные группы могут быть исчислимыми или континуальны-
Важными являются группы преобразований некоторого множества объектов в себя. Групповой операцией в них является последовательное выполнение преобразований. Если преобразовываемое множество наделено некоторыми физическими, геометрическими или другими свойствами, сохраняемыми при групповых преобразованиях, то о группе говорят, что она является группой симметрий этого множества.
1.2. Примеры групп. С групповыми структурами мы сталкиваемся повсеместно. Законы сложения или умножения чисел, правила сложения векторов и умножение матриц являются групповыми операциями. Рассмотрим наиболее употребимые примеры групп.
1. Множество IK вещественных чисел — абелева группа относительно сложения; число ноль является единицей этой группы. Множество Z целых чисел — дискретная подгруппа группы Ж.
2. Множество положительных чисел является группой относительно умножения чисел. Единицей этой группы является число 1.
3. Абелевой группой является линейное пространство IKn = IK X IK X ... X Ж. Любое линейное (векторное) пространство является в первую очередь непрерывной абелевой группой относительно сложения векторов. В ней введено умножение элементов на числа. Группы, в которых определено умножение на числа, называют группами с мультипликаторами. § 1. Элементарные понятия теории групп
11
4. Большим классом групп являются группы линейных невырожденных преобразований линейных пространств. Такие группы называются линейными. Фиксация базиса в конечномерном векторном пространстве устанавливает изоморфизм этого пространства с пространством Mn или С™, а группы линейных преобразований становятся матричными группами.
4а. Группа линейных однородных невырожденных преобразований пространства Mn состоит из всех вещественных невырожденных матриц порядка п и обозначается через GL(n, Е).
46. Множество всех линейных неоднородных преобразований g(a,b), а, Ь Є IR, а ф 0, вещественной оси, действующих согласно формуле g(a, Ь)х = ах + Ъ, х Є М, образует группу аффинных преобразований однородного пространства М. Элементы этой группы зависят от двух непрерывных параметров. Групповым умножением является последовательное выполнение двух преобразований:
g(ai, bi)g{o2, Ъ2)х = Oia2X + Oi Ь2 + 61= g{ai O2lOib2 + h)x.
Обратный элемент имеет вид g-_1(a,6) = g(a~1,—b/a). Эта группа не является абелевой.
Если пространство наделено дополнительными структурами (например, метрикой), то интересными являются линейные группы, сохраняющие эти структуры. Группы, сохраняющие метрику, называются группами изометрий.
4в. Пусть в пространстве М" задана билинейная симметрическая положительно определенная форма (скалярное произведение)
(х,у) = Xiy1 + Х2у2 + ...+ ХпУп-
Такое пространство называют евклидовым и обозначают через En. Линейные преобразования пространства En, сохраняющие скалярное произведение, называют ортогональными; они образуют группу 0(п). Преобразования из 0(п), сохраняющие ориентацию пространства En, называют вращениями. 12 Глава 1
Они образуют группу, обозначаемую через SO(n). Вращения пространства E2 (плоскости) задаются матрицами
(cos (р — sin <р \
, 0 ^ (р < 2тг.
sin ц> cos ip J Соответствующая группа SO(2) абелева.
4г. Группа 0(п) естественно расширяется до группы неоднородных преобразований пространства En. Ее называют группой движений пространства En. Элементами этой группы являются преобразования вида
x gx + a, g Є 0(п), а є En. Ее обозначают через Ю(п) или Е(п).
4д. Дополнив группу 10(п) преобразованиями растяжения x —> рх, р > 0, получаем группу преобразований подобия. В свою очередь эта группа является подгруппой аффинной группы пространства En. Аффинные преобразования имеют вид
x —> Ax + а, А Є GL(n, Е), а Є Еи.
4е. Конформными преобразованиями в пространстве En называют гладкие отображения хі —> х\ = /,(ж\,х2,... ,хп), вследствие которых скалярное произведение умножается на некоторую функцию, то есть
