Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Соображения симметрии выступают, с одной стороны, как вспомогательные при решении сложных задач в пределах уже известных законов природы, а с другой — как принципиально важный (если не основной) эвристический принцип при построении моделей новых явлений, в большинстве случаев недоступных непосредственному восприятию и находящихся за пределами сложившейся интуиции. Для иллюстрации последнего утверждения приведем пример теории электрослабых взаимодействий — наиболее яркого достижения квантовой теории поля и физики элементарных частиц за последние 30 лет. В основе этой теории лежит идея симметрии относительно калибровочной группы SU(2) х U(1), а также некоторый механизм ее нарушения. Присоединив сюда требование перенормируемости теории, мы получим три фундаментальных принципа (симметрия - механизм нарушения -перенормировка), достаточных для построения физической теории, описывающей большой комплекс явлений микромира и свойств Вселенной на ранних стадиях эволюции.
Сфера контактов физики и теории групп постоянно расширяется. Если в начале 60-х годов владение теоретико-групповым аппаратом означало знакомство с основными определениями, элементами теории конечномерных представлений конечных групп и матричных групп Ли, а также 7 Предисловие
с теорией тензорного умножения этих представлений, то на современном этапе взаимосвязь с теоретической физикой происходит на верхних этажах грандиозного строения теории групп и алгебр. Привлекаются тонкие факты структурной теории неклассических алгебр Ли, теория когомологий групп и алгебр Ли. Широкое распространение получили супергруппы и супералгебры, бесконечномерные аффинные алгебры, экзотические дискретные группы, а также самые современные достижения — квантовые группы и алгебры. Чтобы молодому человеку, готовящемуся стать физиком-теоретиком, включиться в исследовательскую работу, выйти на передовые рубежи современной науки, необходимо пройти длинный путь от первых определений до новейших достижений. Наша цель — помочь ему в этом. Поэтому материал книги в значительной мере учебный и подобран так, чтобы усвоив основные понятия теории групп, накопив в достаточном количестве факты на основе рассмотрения конкретных групп и их представлений, подойти к переднему краю — теории аффинных алгебр и квантовых групп. Объем книги не дает возможности изложить систематически весь математический аппарат теории симметрий. Поэтому мы рассчитываем, что читатель будет использовать дополнительную литературу.
В мировой литературе существует много книг на тему симметрий, теории групп и ее применения в физике, химии и других областях естествознанйя. Стоит заметить, что первая в мировой литературе книга по общей теории групп была издана в 1916 году в Киеве. Это монография «Абстрактная теория групп», написанная молодым выпускником Киевского университета О.Ю.Шмидтом. Она появилась вследствие работы в Киеве научного алгебраического семинара под руководством Д. А. Граве, в работе которого принимали участие такие известные впоследствии ученые, как Б.Н.Делоне, А. М. Островский, М. Г. Чеботарев и др. Участником этого семинара был и М. Ф. Кравчук — ученый-подвижник, приложивший немало усилий для того, чтобы наука стала достоянием общечеловеческой культуры. М.Ф.Кравчук не занимался непосредственно теорией групп, но его знаменитые многочлены (многочлены Кравчука) неожиданно возникли в теории представлений симметрических и ортогональных групп. 8
Предисловие
Наша книга адресована в первую очередь физикам-теоретикам и специалистам по математической физике. Написана она математическим языком, хотя достаточно часто мы апеллируем к интуиции и образному восприятию, свойственному физикам. Надеемся, что она найдет своего читателя и среди математиков, интересующихся проблемами математической физики.
Авторы благодарны многим ученым, общение с которыми повлияло на их научные вкусы, а следовательно и на содержание этой книги. В первую очередь мы благодарим академика АН Украины О. С. Парасюка, стимулировавшего в свое время наш интерес к занятиям теорией симметрии. Выражаем благодарность участникам семинара по математическим проблемам квантовой теории поля, который в течение многих лет работает в Институте теоретической физики АН Украины, где проблемы симметрии и теории представлений групп постоянно находятся в центре внимания. Благодарим Ю.Бернацкую за помощь в подготовке рукописи. Глава 1 Основные сведения
§ 1. Элементарные понятия теории групп
1.1. Группы и подгруппы. Конечное или бесконечное множество G элементов произвольной природы называют группой, если в G определена бинарная операция (ее чаще всего называют умножением), для которой выполняются следующие условия:
а) Операция определена для каждой пары элементов из G, и если элементам gi и g2 ставится в соответствие элемент g3, то g3 принадлежит G. Мы будем писать gig2=g3-
б) Для любых трех элементов gl, g2 и g3 из G выполняются соотношения gi(g"2g"3) = (gig2)g3- Это свойство называют ассоциативностью групповой операции.
в) В G существует элемент е, называемый единицей группы, такой что ge = eg = g для всех g Є G.
