Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Є2=0, т]2= 0, Zv = -Q-1Vt-
Положив
[v'J ~ \с d)™ \V) - \c®t + d®vj '
имеем = (ad— qbc)®В классическом случае определитель возникает как первый множитель в последнем выражении. Поэтому естественно считать := ad — qbc квантовым определителем. §4. Алгебра функций на квантовой группе SLq(2) 483
4.4. Базис алгебры &(SL4(2)). Элементы а, Ь, с, d Є &(SLg(2)) удовлетворяют соотношениям (4.2) и (4.10). Вычисления с этими элементами ведутся с помощью следующего утверждения.
Утверждение 2. Если элементы z и w удовлетворяют соотношению zw - qwz, то
(z + w)n=?
m=0
= ? U <4Л6)
т—0
где q-биномиалъные коэффициенты задаются формулой
п _
.mJe Q)m(q\ q)n-, и (a; q)n определяется как
п-1
(4.17)
(а; я)п = П (1 ~ a^i)' n е to 9)о =
J=O
Формула (4.16) доказывается методом математической индукции.
Чтобы найти базис алгебры &(SLq(2)), заметим, что элементы этой алгебры являются конечными линейными комбинациями произведений
anbmckdT, п, тп, k, г = 0,1,2,... . (4.18)
Однако эти элементы не являются линейно независимыми. Например, элементы OmCfn и dmam выражаются в виде линейной комбинации элементов (bc)k, к = 0,1,2,... ,т. Для установления этой связи используются формулы
n+1l =H о*-»+ Гп 1
*+1J W U+1! '
Jg L J9 L Jq
9
(«">- = E [7] 484
Глава 2,
доказываемые методом математической индукции. С помощью этих формул и соотношения (4.10) находим, что >•
^em = ? ЇТ1 Q-k\bc)k = (~qbc\ q)n, (4.19)
Jfe=O L J <
-2
Q2km-"2 (bc)k = (—qbc; q'1)^ (4.20)
В силу соотношений (4.2) элементы (4.18) можно представить в виде cbmckandr или c'andrbmck, где с и с' — числа. Пусть n ^ г. Тогда элемент bmckandr представляется в виде bmck(andn)dr~n и вследствие соотношения (4.20) он является линейной комбинацией элементов VсесГ~п, р ^ 0, е ^ 0. Аналогично с помощью соотношения (4.19) показывается, что если ті ^ г, то элемент (4.18) представляется в виде линейной комбинации элементов an~rVce, р ^ 0, е ^ 0. Между элементами b?ce dr, arbp(f, г > 0, р ^ 0, є > 0, алгебры &(SLg(2)) отсутствует линейная зависимость. Таким образом, элементы
anbmcr, bmcrd", m,r,s = 0,1,2,... , n = 1,2,... , (4.21)
образуют базис алгебры c?(SLq(2))
Вычислим действие коумножения А на некоторые элементы базиса (4.21). Если I — целое или полуцелое положительное число, то с помощью формулы (4.16) находим
Д(а2') = (а ® а + Ь ® с)2' = ]Г L + J ®
і=-І 8J я'*
(4.22)
Аналогично выводим соотношения /
21 l + i
с1~Ч1+і ® а!~*с1+\ (4.23)
-2
A (c2') = ?
j=-l /1^0 J Я
0 a'-J'c'+i. (4.24)
x
2 §5. Представления квантовой группы SLq(T)
485
Суммирования в (4.22)-(4.24) ведутся по целым (полуцелым) значениям і и j, если I целое (полуцелое).
4.5. Представления алгебры ^ (SUq (2)). Здесь под представлениями алгебры &(SUq(2)) понимаем гомоморфизм +-алгебры &(SUq(2)) в алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Чтобы задать представление Т, необходимо задать операторы Т(а), T(b), Т(с), T(d), удовлетворяющие соотношениям (4.2), (4.10) и соотношениям Т(х*) = Т(х)% X = а, Ь, с, d.
Ясно, что соответствие а elv, b 0, с 0, d -? e~lv при каждом фиксированном tp Є [0,2ir) задает одномерное представление алгебры &(SUq(2)).
Для задания бесконечномерных +-представлений алгебры &(SUq(2)) зафиксируем гильбертово пространство Sj с ор-тонормированным базисом em, m = 0,1,2,..., и предположим, что 0 < q < 1. Прямые вычисления показывают, что при фиксированном ip из интервала 0 < <р < 2тс формулы
Tv(O)eo= 0, T„(a)efc = (1 - q2")1'2*^, fc > 1, Tv(b)ek = e'^qkek, Tv(C)Bk = ellpqkek, Tv(d)ek = (1 - q2k+2)lf2ek+i
задают +-представление алгебры &(SUq(2)). Можно показать, что с точностью до унитарной эквивалентности перечисленные представления исчерпывают все неприводимые +-представления этой алгебры.
§ 5. Представления квантовой группы SLq(2)
5.1. Разложение алгебры Хопфа &(SLq(2)). Как и в классическом случае, в квантовых группах можно выделять квантовые подгруппы. Квантовая подгруппа H квантовой группы SLq(2) определяется алгеброй Хопфа &(Н) (то есть алгеброй функций на Н) и гомоморфизмом <р из алгебры Хопфа &(SLq(2)) на 3-(Н). Введем квантовую подгруппу К квантовой группы SLq(2), соответствующую подгруппе диагональных матриц классической группы Ли SL(2, С). Для 486 Глава 2,
этого полагаем &(К) = С [г, г-1], где С [z, z-1] — алгебра многочленов от z и z-1, и вводим операции Ак, є к, Sk-
A(z±l)=z±1®z±l, e(zia) = 1, Sfzil) = zt1,
превращающие &(К) в алгебру Хопфа. Гомоморфизм фк¦ &(SLq(2)) —> &(К) определяем формулами
Фк(а) = г, Фк{Ъ) = Фк(с) = 0, Фк№ = г~К (5.1)
Если д вещественно, то »-операция из &(SUq(2)) переносится в 9(К) и К можно также рассматривать как квантовую подгруппу в 517,(2). Формулы
Lk = (Фк ® id) о Д, Rk — (id ®фк) ° А (5.2)
определяют гомоморфизмы
Lk -. # &(К) ® #, Rk -. 9 9 ® 9(К),
где # = 9(SLq(2)). Они задают левое и правое копредставления алгебры Хопфа 9(К) в 9. С помощью отображений Lk и Rk вводим подпространства #[m,n], m,neZ, алгебры 9(SLq( 2)):
