Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Положим I1 = I2 = 1/2 и обозначим матричные элемен-.1/2 .1/2 .1/2 .1/2 ТЫ 1/2,1/2' 1/2,-1/2' —1/2,1/2' -1/2,-1/2 НЄПрИВОДИМОГО ПРЄД-
ставления T1/2 через а, Ъ, с, d соответственно:
1/2 1/2 1/2,1/2 1/2,-1 /2
, ,1/2 ,1/2 V—1/2,1/2 -1/2,-1/2
Записывая соотношения (4.1) в матричном виде, получаем соотношения
об = <760, ос = QCO, bd = qdb, cd = Qtfc, be = cb, (4.2) ad — da = (q — q~x)bc (4.3)
(другие соотношения следуют из этих).
Пусть &(Мд(2)) — комплексная ассоциативная алгебра (с единицей), порожденная генераторами о, 6, с, d, удовлетворяющими соотношениям (4.2) и (4.3). Вводим в ^(Мд(2)) структуру биалгебры, задавая коумножение А и коединицу є формулами
Д(о) = о®о + Ь®с, Д(Ь) = a®b + b®d, (4.4) Д(с) = с® a + d® с, A(d) = c®b + d®d, (4.5) є(о) = e(d) = 1, є(Ь) = є (с) = 0, (4.6)
которые могут быть записаны в матричной форме
/о Ь\ /а®1 /1®о 1®гД
\с d)~\c® 1 d® Ij ^l ® с 1 ® d/ '
•СЭ-С.Э- 480 Глава 2,
(Рекомендуем читателю показать, что так определенные коумножение и коединица удовлетворяют условиям определения биалгебры.) Полученную биалгебру называют алгеброй функций на квантовом матричном пространстве Мд(2) и обозначают через &(Mq(2)).
4.2. Алгебра функций на квантовой группе SLq (2).
Из формулы (4.3) вытекает, что
ad — Qbc — da — д~гЬс. (4.7)
Этот элемент алгебры &(Mq(2)) обозначается через 0Jq и называется квантовым определителем. Непосредственные вычисления показывают, что
Д(@„) = % ® є(%) = 1, (4.8)
%а = а%, %Ъ = Ъ%, %с = с%, %d = d%. (4.9)
Соотношения (4.9) означают, что S>q принадлежит центру Sf алгебры &(МЯ(2)).
Пусть J — двухсторонний идеал в &(Mq(2)), порожденный элементом — 1. Легко проверить, что J — биидеал в &(Mq(2)). Поэтому &(Mq(2))/J — биалгебра.
Биалгебру &(Mq\2))/J можно определить как комплексную ассоциативную алгебру с единицей, порожденную элементами а, Ь, с, d, удовлетворяющими соотношениям (4.2) и соотношениям
ad - Qbc = da- q_1bc = 1. (4.10)
В этой биалгебре можно ввести антипод S, превращающий ее в алгебру Хопфа. Этот антипод однозначно определяется формулами
S(a) = d, S(b) = -q~xb, S (с) = -qc, S{d) = a. (4.11)
(Докажите, что так определенный антипод удовлетворяет условиям определения алгебры Хопфа.) Алгебру Хопфа ^(Mq(2))/J называют алгеброй функций на квантовой группе SLq(2) и обозначают через c?(SLq(2)). Для краткости будем обозначать эту алгебру Хопфа также через §4. Алгебра функций на квантовой группе SLq(2) 481
Подчеркнем, что в отличие от матричных групп Ли квантовая группа SLq(2) не существует самостоятельно. Она существует только в терминах алгебры Хопфа &(SLq(2)) и ее структур.
Всюду ниже считаем, что q не является корнем из единицы, то есть что q ф ехр27гі^, где шип — целые числа. Если q Є К, то в алгебре Хопфа & = ^(SLq(2)) можно ввести »-структуру, которая определяется формулой
С 5Н? SH4 Г6) <->
и распространяется на всю алгебру исходя из того, что операция * является антилинейным антиавтоморфизмом (см. п. 1.4). Полученную »-алгебру Хопфа обозначают через &(SUq(2)) и называют алгеброй функций на квантовой группе SUq(2). Квантовую группу SfZ4(2) называют компактной вещественной формой квантовой группы SL,,(2).
4.3. Геометрический подход к SLq(2). Матрицы из группы Ли SL(2, С) являются линейными преобразованиями на комплексной плоскости. Покажем, что определяющие соотношения (4.2) и (4.10) алгебры Хопфа &(SLq(2)) возникают естественным образом, если рассматривать квантовую матрицу (" J) как преобразование квантовой плоскости C2.
Пусть ^(C2) — ассоциативная алгебра с генераторами ж и у, удовлетворяющими определяющим соотношениям
ху = qyx. (4.13)
Она называется алгеброй функций (или) координатной алгеброй на квантовой плоскости С2.
Пусть (° J) — матрица, составленная из элементов некоторой алгебры А. Зададим левое и правое преобразования векторов (у) и (ж,у) матрицей
(а Ь\ /ж\ _ /а ® ж + Ъ ® у\ _. ЛЛ с d)®\y)-\c®x + d®y)~''\if)*
{х,у)®ус = (ж ® в + у® с, ж ® 6 + у® d)=: (ж", у"). 482 Глава 2,
Утверждение 1. Пары и (х",у") удовлетворяют соотношениям (4.13) тогда и только тогда, когда элементы а, Ь, с, d удовлетворяют соотношениям (4.2) и (4.3).
Доказательство. Пусть х'у' = qy'x' и х"у" = qy"x". Тогда первое из этих равенств означает, что
(в ® X 4- Ь ® у)(с ®x + d®y) = q(c ® ж + d ® у)(а ® х + Ъ ® у),
то есть
(ac — qca)®x2+(ad—da+q~1bc—qcb)®xy+(bd—qdb))®y2 = 0.
Поскольку элементы ж2, ж у и у2 линейно независимы в получаем
ac = qca, bd = qdb, ad — da — qcb + q~%bc = 0. (4.14)
Аналогично из x"y" = qy"x" выводим, что
ab = qba, cd = qdc, ad — da — qbc + q~lcb = 0. (4.15)
Последние соотношения в (4.14) и (4.15) означают, что be = cb. Поэтому (4.14) и (4.15) эквивалентны (4.2) и (4.3). Эти же вычисления, проведенные в обратном порядке, доказывают обратное утверждение.
Чтобы дать геометрическую интерпретацию квантового определителя, вводим алгебру внешних форм А(С^) на квантовой плоскости. Это — алгебра, порожденная элементами ? и Т) и соотношениями
