Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
OO
\z) = Eq(ZZ)'1I2 E ТПКшМ = E<,(zz)-1/2Egma+))\0),
ЇҐо (NO v
сю
где Eq(zT(a+)) := ? (zT(a+))n/[n]L Множитель Eq(ZZ)'1!2
n=0
взят для того, чтобы обеспечить единичную длину вектора Iz). Отметим, что собственные векторы Iz), 2 Є С, не являются взаимно ортогональны. Скалярные произведения для них даются выражением
(z'\z) = Eq(Z1^)-1I2 Eq(ZZ)-1I2Eq(Z^i).
3.5. q-осцилляторная реализация алгебры Uq(sl2).
Квантовая алгебра Uq(Sl2) может быть реализована в терминах элементов д-осцилляторной алгебры Aq.
Утверждение 1. Для каждого а Є С существует алгебраический гомоморфизм : Uq(s{2) —> Aq, такой что
Va(E+) = a, Va(E-)=a+[N -2a]q, ^a(k)=qN~a.
(3.16)
Существует алгебраический гомоморфизм Uqz(sl2) —> Aqf такой что
= = —&(k) = qN+1l2.
q+q q+q
(3.17) 476 Глава 2,
Доказательство. Чтобы показать, что отображение является алгебраическим гомоморфизмом, достаточно показать, что элементы (3.16) алгебры Aq удовлетворяют соотношениям (2.4) и (2.4'). Проверим выполнение соотношения (2.4'):
[^(Я+), ?>(?-)] =
= aa+[iV - 2а], - a+[iV - 2a]qa = = aa+[N - 2а]д - a+a[N -2а- l]e = = [TV + l]JiV - 2а]д - [N]g[N -2а- 1]д = = (Q~ Q-1)'2^1 - Q-X-1HQn'2" - Q^+2") -
_ _ g-N)(gN-2a-l _ g-N+2a+l)} =
_ 4-а) _ g-2(JV-g) _ ^(fc)2 _ ffa(fc)-2
Q-q'1 Q- Q-1
Другие соотношения проверяются подобным образом. Чтобы доказать, что З' является алгебраическим гомоморфизмом, используются соотношения
(а+)2а2 = [N\q[N - 1]„ а2(а+)2 = [N+ l]„[iV + 2],.
Утверждение доказано.
Для реализации квантовой алгебры Ug(Bl2) в терминах двух коммутирующих g-осцилляторных алгебр нам потребуется расширение A®xt алгебры Aq путем присоединения элементов qNZ2 и Q-jvZ2. Алгебра A®xt является ассоциативной алгеброй с единицей, порожденной элементами а, а+, Qjv/2 и Q-jv^2, удовлетворяющими соотношениям
[а,а+]я = Q-* := (Q-jvZ2)2, [в,а+]в-ж = Qjv := (QjvZ2)2,
q-N/2gN/2 = gN/2q-N/2 = ^ gN/2a+ = gl/2a+gN/2^
qWa = Q-V^gjv/2.
Обозначим через A®xt,z тензорное произведение двух алгебр A®xt. Генераторы алгебры A®xt'2 обозначаем через Qjvi/2, Q-jviZ2 и аг, «2 5 Qn2^2I Q-jv2Z2. Каждый элемент с первого множества коммутирует с любым элементом с второго множества. §3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj) 477
Утверждение 2. Существует единственный алгебраический гомоморфизм <р: U9(Slz) —> A®xt'2, такой что
<р(Е+)=а+а2, <р(Е-) =а+а1, V(k) = q^~N^2. (3.18)
Доказательство этого утверждения оставляем читателю. В [76], раздел 5.3, показано, что гомоморфизм <р в действительности является изоморфизмом алгебры Uq(Sl2) в A®xt>2.
3.6. Алгебра _A®xt*2 и представления Uq(sl2). Представление Фока T алгебры A8q формулами (3.14) приводит к соответствующему представлению алгебры A®xt'2 в гильбертовом пространстве Sj2 := fj ® fj, которое также обозначаем через Т. Композиция 7г := T о ip, где <р — гомоморфизм из утверждения 2, определяет бесконечномерное представление квантовой алгебры Uq(Sl2)-.
тг: Uq(Sl2) -A Aft'2 A S2.
Базисные элементы |т, п) = |m) ® \п) пространства Sj2 можно представить в виде
T(at)m Г(4)",п m Kn> = —=-—==-10,0).
VEm]' vN!
Из (3.18) следует, что
T(a+)m T(at)n п(Е+)\т,п) = T(at)T(a2) KlL [0,0) =
vH! vN!
v/[m + l]! v/F^I]!1
= ([m + lHn^lm+l.rc- 1).
Подобным образом выводим, что
п(Е-)\т,п) = (Hl" + 4)./^^,0,0) =
= ([m][n +ID1ZaIm-I
,п + 1) 478
Глава 2,
іг(к)\т,п) = д{т~п^2\т,п).
Из этих формул вытекает, что линейное подпространство Vi С Sj2, натянутое на базисные элементы \т, п), т+п = 21, инвариантно относительно представления гг алгебры Ug(Sl2). Обозначим числа т+п, т и п через 21,1 + к и I — к соответственно. Тогда Vi натягивается на векторы
ei := Il+k,l-k) = rSffr^ . к = —1,-1+1,... ,1.
у/[1 + fcj! y/[l - fc]!
Операторы тг(Е+), п(Е-) и п(к) действуют на эти векторы по формулам
^+)el = (P + fc + l]P-fc])VVft+1, TT (E-)el = ([I + kj[l -к+ Ij^eU, 7r(fc)ei = ?4-
Таким образом, сужение представления п алгебры Ug(Sl2) на подпространство Vi эквивалентно неприводимому представлению Ti этой алгебры из п. 2.3. Таким образом,
7г =
0 Т.
Повторив рассуждения этого пункта с заменой пространства Sj2 на гильбертово пространство ^2 = $ ® 5 из п. 3.4, приходим к реализации неприводимых представлений Tj квантовой алгебры Ug(sl2) формулами (2.25) в пространствах однородных многочленов степени 21 от двух переменных. Рекомендуем читателю провести эти рассуждения.
§4. Алгебра функций
на квантовой группе SLg(2)
4.1. Алгебра функций на квантовом матричном пространстве Мд(2). Пусть Tj1 и Tj2 — неприводимые конечномерные представления квантовой алгебры Ug(Sl2) из п. 2.3. Тензорное произведение Tj1 ®Т,2 этих представлений §4. Алгебра функций на квантовой группе SLq(2) 479
некоммутативно, то есть Tj1 ® Tj2 ф Ti2 ® Tj1. Из результатов п. 2.5 вытекает, что
R1^iTll ® Т,2)(Д(о)) = (Ti2 ® Th)(A(a))Rlih, о Є Ug(Bl2),
(4.1)
где Rllli — оператор из тензорного произведения V1 ® V2 представления Tj1 ® Ti2 в тензорное произведение V2(Z)V1.
