Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Є С и ? ф 0. Обозначим через V комплексное векторное пространство с базисом |m), m = 0,1,... ,р — 1. 472 Глава 2,
Определяем на V операторы
Т^(а+)\т) = \m + 1), O^m ^p- 2, T^a+^p -1) = ?|0), Г^(а)|ш) = [m + p]|m- 1), I^m ^p-I,
T^(a)IO) = МГЧр - 1>, TK(q±N)\m) = q^+^m) и операторы
^WH = Im -1), 1 ^mO-I, 3^(о)|0)=Є|р-1>,
Т'^(а+)\т) = [т + р + 1]|то +1), O ^ то ^ р - 2,
TU(a+)\p -1) = Mr1IO), T'?i(q±N)\m) = q±(m+»>\rn).
Эти оба множества операторов удовлетворяют соотношениям (3.1) и (3.2) и, следовательно, определяют представления алгебры Ag, которые будем обозначать через Tft^ и Tfl^ соответственно.
При W Є С операторы на V, определяемые формулами
Tto(Aijv)Iti; + т) = q±{w+m)\w + т), Тш(в+)|и/ + то) = I«; + т + 1), Тш(в)|и/ + то) = 5_*"[т]|и/ + то - 1),
где — 1) = |и/ + р) := 0, также определяют представления алгебры Ag, обозначаемые через Tw.
Легко проверить, что представления Tft^ и Tjl^ неприводимы. Если р ф О и ? ф 0, то представление T^ эквивалентно представлению TftiJftJe^-I. Представления Tw неприводимы. Классификация неприводимых представлений алгебры Aq дается следующей теоремой.
Теорема 5. (і) Каждое неприводимое представление алгебры Ag имеет размерность р и эквивалентно одному из представлений Tft4, Є С, ? ф 0, T^ v ? Є С, ? ф О, Tw, w Є С. Представления Tfj^, р ф 0, ? Ф 0, циклические, представления То,?, ? Ф 0, полуциклическйе с младшим весовым вектором, а представления Tj^, ? ф 0, полуциклические со старшим весовым вектором. Представления Tw имеют старший и младший весовые векторы. §3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj)
473
(іі) Представления Ttli и TttIf, ц, fi' ф 0, эквивалентны тогда и только тогда, когда ? = и q" = +к для некоторого к = 0,1,2,..., р — 1. Представления T0^ (а также представления Tq g) попарно неэквивалентны. Представления Tw и Twi эквивалентны тогда и только тогда, когда q= qw'.
Легко видеть, что Ttli(Cq) = T^(Cg) = 0. Для представления Tw имеем Tw(Cg) = 0 тогда и только тогда, когда q2w = 1, то есть когда w = 0,р/2. Таким образом, каждое неприводимое представление алгебры Aq эквивалентно одному из представлений Ttli, T^, T0 и Тр/2.
3.4. Представление Фока. В этом пункте считаем, что q > 0 и q Ф 1. »-представление T := Tq симметричной g-осцилляторной алгебры Aq называется представлением Фока. Обозначив базисные элементы |m), m = 0,1,2,..., пространства V представления Фока через | т)' соответственно и положив |m) = ([m]4!) """1Z2Im)', для операторов представления Фока получаем
Г(о)|п) = ^KIn-I), Т(о+)|п) = д/[п+1]в|п+1),
T(Ar)In) = п|п). (3.14)
Вводим в пространство V скалярное произведение, для которого векторы |т) ортонормированы. Замыкание пространства V относительно этого скалярного произведения является гильбертовым пространством, которое будет обозначаться через В пространстве fj имеем Т(о)* = Т(о+).
Представление Фока описывает (/-деформированный осциллятор с гамильтонианом H = (huj/2)(aa+ + а+а), где h и W такие, как для обычного квантового гармонического осциллятора. Базисные векторы |п) являются собственными для этого гамильтониана с собственными значениями
ж?(п\ _ hw ,г , , г , _ hw sh Hn+ 1/2)) Е(п) - -у ([я] + [п + 1]) - "у Mv/2) '
где q = е". В пределе q 1 эти числа дают собственные значения гамильтониана квантового гармонического осциллятора. 474 Глава 2,
Реализуем представление Фока g-осцилляторной алгебры Ag в гильбертовом пространстве целых голоморфных функций. Пусть Dg — g-производная функций от комплексной переменной Z:
q-q
Пусть C[z] — пространство многочленов от z. Для f,g Є С [z] определяем
(/.в) =7(Я,)в(*)1«=о»
где / = если / = ^lCenZn. Поскольку DgZn = [n]qzn~l,
то форма (•, •) является (положительно определенным) скалярным произведением на линейном пространстве C[z], таким что многочлены
un(z) = -~=, n = 0,1,2,... ,
VinW-
составляют ортонормированный базис. Замыкание пространства С [z] относительно этого скалярного произведения является гильбертовым пространством, обозначаемым через Элементами этого гильбертового пространства являются все
сю
голоморфные функции f(z) = Yl a„zn на комплексной плос-
п=0
OO
кости, для которых J2 |«„|2[n]g! < оо. В частности, д-экспо-
п=0
ненциальная функция
I
- / i'-jg п=0
лежит в пространстве gV Для нее справедливо равенство
Y^(i)nn(z) =Egdz).
п=0
Для Eg(z) имеем оценки |Eq(z) ^ Eq(\z\) ^ exp|z|, z Є С. Для положительных значений переменной Z функция Eg(z) положительна. §3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj) 475
Существует изоморфизм гильбертовых пространств Sj и & отображающий |п) на u„(z). При этом изоморфизме операторы Т(а), Т(а+) и T(N) из (3.14) превращаются в операторы
T(a)=Dq, T(a+) = z, T(N) = z? (3.15)
на пространстве J?- Эта реализация представления Фока T алгебры Aq называется q-реализацией Баргмана-Фока.
Если г — комплексное число, то вектор Iz) Є Sj единичной длины называется q-когерентным состоянием, если
T(a)\z) = z\z).
Каждое комплексное число является собственным значением оператора Т(а) с собственным вектором
