Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
TJ(a+)|«; - m) = -g-^HI«; - m + 1), §3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj) 469
где |гу + 1) := 0, определяют неприводимое представление со старшим весом.
Классификация неприводимых представлений со старшим или младшим весом алгебры Aq дается следующей теоремой, доказательство которой можно найти в [76], раздел 5.2.
Теорема 1. (І) Каждое неприводимое представление с младшим весом эквивалентно одному из представлений T+. Представления T+ и T*, эквивалентны тогда и только тогда, когда qw = qw'.
(іі) Каждое неприводимое представление со старшим весом эквивалентно одному из представлений Т~. Представления Т~ и Т~, эквивалентны тогда и только тогда, когда qw = qw'.
Легко проверить, что TM = ^-"N,/, T-(Cq) = q'w[w + IJffJ. (3.10)
Пусть теперь a,w Є С и 0 ^ Re«) < 1. Обозначим через V комплексное векторное пространство с базисом |w/ + m), то Є Ъ. Операторы Taw(N), Taw(a+) и Taw(а) на V, определенные формулами
Taw(N)\w + то) = (w + m)\w + то), Taw(a+)]w + то) = Jw 4- то 4-1),
Taw(a)\w + то) = (Ciqn + e~"[m])|u; + то - 1) (3.12)
удовлетворяют соотношениям (3.7) и (3.8), а следовательно, определяют представление алгебры Aq. Справедлива формула
Taw(Cq) = ^-"(M - а)1. (3.13)
Теорема 2. Если a<7m+Q-*" [то] ^O для всех тоЄ2, то представление Taw неприеодимо и не имеет ни старшего, ни младшего весовых векторов. Два таких представления Taw и TaIwI эквивалентны тогда и только тогда, когда а = а' и qw =qw . Каждое неприводимое представление алгебры Aq без старшего и младшего весовых векторов эквивалентно одному из представлений Taw.
(3.11) 470
Глава 2,
Доказательство этой теоремы см., например, в [76], раздел 5.2.
Теоремы 1 и 2 классифицируют неприводимые представления алгебры Ag. Поскольку алгебра Atq является фактор-алгеброй алгебры Aq по идеалу, порожденному элементом (3.4), то неприводимые представления Asq с точностью до эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с теми неприводимыми представлениями T алгебры Aq, для которых T(cq) = 0. Поэтому из формул (3.10) и (3.13) выводим классификацию неприводимых представлений алгебры Aq. Она дается следующей теоремой.
Теорема 3. (І) Пусть w+ и и/_ — фиксированные комплексные числа, такие что qw+ = —1 и qw~+1 = —1. Тогда представления Tq , Т++, TZ1 и Т~_ являются попарно неэквивалентными неприводимыми представлениями алгебры Ag со старшим или младшим весом.
(ii) Пусть W Є С такое, что 0 < Rew < 1 и [w]qm + + q~w[m] ф 0 для всех гп Є TL. Тогда Т[Ш])Щ) — неприводимое представление алгебры Ag. Два таких представления T^jiш и Т[Ш/])Ш» эквивалентны тогда и только тогда, когда qw = qw'.
(iii) Каждое неприводимое представление алгебры Asq эквивалентно одному из представлений из (і) или (ii).
Пусть теперь q > 0 и q ф 1. Тогда на Aq и Aq существует ¦-структура, превращающая их в +-алгебры. Эта +-структура определяется формулами а* = а+, {qN)* = qN. Мы хотим найти все (с точностью до эквивалентности) неприводимые +-представления +-алгебр Aq и Asg. Напомним, что +-представлением +-алгебры А называют представление T на векторном пространстве V со скалярным произведением {v \ v'), такое что
(T(x)v\v') = (v\T(x*)v'), X € A, v,v'€V.
Детальный анализ представлений теорем 1-3 приводит к классификации неприводимых представлений алгебр Aq и Aaq, которая дается следующей теоремой. §3. q-осцилляторная алгебра и алгебра t/,(slj)
471
Теорема 4. (і) T+ и Т~ являются *-представлениями *-алгебры Ag тогда и только тогда, когда qw > 0 и qw < О соответственно.
(ii) Если 0 < q < 1, то Taw является *-представлением *-алгебры Ag тогда и только тогда, когда qw > 0 и a(q—q-1)+ + q~w S^ 0. Если q > 1, mo TQtI) является *-представлением тогда и только тогда, когда qw <0 и aqw + (q — q~1)~1 ^ 0.
(iii) Неприводимые *-представления *-алгебры Asq с точностью до унитарной эквивалентности исчерпываются представлениями Tq и Т~_, qw~ < 0.
Оператор T(N) можно рассматривать как g-аналог оператора числа частиц. Поэтому естественно требовать, чтобы он имел вещественный спектр. Поэтому »-представление T »-алгебры Aq или »-алгебры Aq называем физическим, если оператор T(N), определенный в начале этого пункта, имеет вещественный спектр. Анализируя »-представления из теоремы 4, приходим к таким заключениям. Только представления Taw, 0 < q < 1, и представления T+ из теоремы 4 являются физическими »-представлениями »-алгебры Aq. »-Алгебра Aq имеет единственное физическое неприводимое »-представление, которым является представление T^ . Оно называется представлением Фока.
3.3. Неприводимые представления: q — корень с единицы. В этом пункте считаем, что qv = 1, где р нечетно и Qn ф 1 для 1 ^ п < р. В этом случае элементы (а+)р, ар, (qN)p и (q~N)p принадлежат центру Sf алгебры Aq (и алгебры Aq). Поэтому Ag — конечномерное векторное пространство над 2f. Из этого вытекает, что каждое неприводимое представление алгебры Aq конечномерно.
Если T — неприводимое представление алгебры Aq, то Т(а+)р и Т(а)р кратны единичному оператору. Неприводимые представления Т, для которых Т(а+)р ф 0 и Т(а)р ф 0 называются циклическими- Если Т(а+)р ф 0 и Т(а)р = 0 или Т(а+)р = 0 и Т(а)р ф 0, то такие представления называют полуциклическими.
