Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
413
л Можно задать присоединенное действие подалгебры Ї) в Ш— А именно, каждому элементу Hei) ставим в соответствие оператор ad Н, действующий в по формуле (зАН)п = [Н,п] = Hn-пН. Непосредственно проверяется, что
((adН)п\)п2 ... ті* = ((adН)п\)п2 ... пк +
+ U1((SLdH)U2)U3 ... Tifc + ... + TiiTi2... Uk-\((&dH)uk).
Поэтому произведение корневых элементов из п_ (то есть элементов из корневых подпространств) является собственным вектором операторов ad Н, H е I). В частности, построенный выше базис алгебры состоит из собственных векторов этих операторов. Поэтому алгебра разлагается в прямую сумму собственных подпространств:
^- = 0?, (4.48)
А
где
$tA = {nG<K-|(ad#)n = A(H)n для всех H Є
Очевидно, что все линейные формы Л являются линейными комбинациями простых корней a0,ai,... ,aj с целыми неположительными коэффициентами.
Размерность dim 91 д подпространства равняется количеству базисных элементов в принадлежащих собственным значениям X(H) операторов ad Н. Ясно, что число таких базисных элементов равно К(—Х), где К(—Х) — число разбиений формы —Л в сумму положительных корней аффинной алгебры 0, причем каждый корень учитывается столько раз, какова его кратность, и K(O) = 1. Величину К(р) называют функцией разбиения Костанта. Следовательно,
dim Wa = К(-Х). (4.49)
4.8. Группа Вейля. Обозначим через Ijr подпространство в подалгебре fj аффинной алгебры g или д(ц), состоящее из вещественных линейных комбинаций элементов H0, 414
Глава 2,
Ні,... ,Ні. Корни аффинной алгебры можно рассматривать как линейные формы на {jr. Каждому простому корню Qj, t = 0,1,... ,1, поставим в соответствие отражение Si, действующее в ї)д по формуле
SiX = X- X(Hi)Oi = X- 2}X,ai\ai. (4.50)
(QijOli)
С помощью этих отражений порождаем группу преобразований пространства fjR, называемую группой Вейля рассматриваемой аффинной алгебры и обозначаемую через W. Поскольку для формы S имеем S(Hi) = 0, і = 0,1, ••.,/, то
wS = S для всех W Є W. (4-51)
Пример 3. Простыми корнями аффинной алгебры Ли vi'1' являются ао = <5 — Qi и ai, а матрица Картана совпадает с матрицей ( Порождающие элементы So и Si группы Вейля W этой алгебры действуют на простые корни по формуле
SiOlj = Qj — 0lj(hi)0ti = Olj — OijOli, где aij — элементы матрицы Картана. Следовательно,
SoOo = — 00, Sotti = Ql + 2tto, I
\ (4-52)
Sitto = tto + 2tti, Sitti =—tti. J
Кроме того, So6 = Si6 = S. Из (4.52) вытекает, что
(SiSo)tto = -Sitto = —«о — 2qi =: Q0 — 2<5, (SiSo)-1Oo = SoSitto = tto + 26, (SiSo)tti = Si(tti + 2tt0) = 2o0 + Зої = tti + 26, (SiSo)-1Oi = SoSioi = oi - 26.
Следовательно, (SiSo)3 не изменяет мнимых корней тб, сдвигает корень оо на —(2j)6, а корень oi — на (2j)6.
Обозначим через Wo подгруппу группы W, состоящую из элементов (SiSo)fc, А; = 0, ±1, ±2,... Ясно, что VV0 является коммутативной группой, изоморфной группе целых чисел. Из формул (4.52) и равенств So6 = Sitf = 6 вытекает, что Wo — инвариантная подгруппа в W и
W = Wb U SoWo = W0 U SiW).. § 5. Представления полупростых алгебр JIu 415
Фактор-группа W/Wo изоморфна группе Вейля алгебры Ли Ai, по которой строится аффинная алгебра Л,1'.
Результаты примера 3 распространяются на все аффинные алгебры Ли, а именно, группы Вейля W аффинных алгебр бесконечны. Группа W содержит подгруппу W, изоморфную группе Вейля, соответствующей простой алгебры Ли, и подгруппу Т, изоморфную аддитивной группе трансляций. Подгруппа T инвариантна в W. Кроме того, W является полупрямым произведением подгрупп W к T-.
W = W хТ. (4.53)
Детальное описание групп Вейля аффинных алгебр Ли можно найти в монографии [31].
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли
В этом и следующем параграфах приводим краткий обзор основных результатов о конечномерных представлениях полупростых групп и алгебр Ли и об интегрируемых представлениях аффинных алгебр Ли. За доказательством приводимых теорем и утверждений отсылаем читателя к соответствующей литературе.
5.1. Конечномерные представления групп и алгебр Ли. Как мы видели в п. 2.3 гл. 3, существует взаимно однозначное соответствие между конечномерными представлениями связной односвязной группы Ли и ее алгебры Ли. Такое же соответствие существует между конечномерными представлениями вещественной алгебры Ли до и так называемыми комплексными конечномерными представлениями комплексификации g алгебры Ли до- Действительно, элементы алгебры д исчерпываются комбинациями X + iY,i= у/^ї, элементов X,Y алгебры д0- Если T — представление алгебры д0, то операторы Т(Х + ЇУ) = T(X) + іT(Y) задают представление алгебры д. Представление T комплексной алгебры Ли д, для которого элементам Z и IZ из д соответствуют операторы T(Z) и іT(Z), называют комплексным. Очевидно, что 416
Глава 2,
сужение комплексного представления T комплексной алгебры Ли на ее вещественную форму приводит к представлению этой вещественной формы.
Пусть T — конечномерное представление группы Ли G и пусть в G введены (локально или глобально) аналитические координаты жі,ж2,... ,хп. Если операторы T(g) аналитически зависят от xi, х2, ¦.. ,хп, то представление T называют комплексно-аналитическим, если параметры комплексны (то есть группа комплексная), и вещественно-аналитическим, если параметры вещественны (то есть группа вещественна). Комплексно-аналитическим представлениям комплексной группы Ли отвечают комплексные представления ее алгебры Ли и наоборот.
