Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
причем Ar совпадает с корневой системой До алгебры 0о, если г = 0, и корневой системой Ді из формулы (4.37), если г ф 0. Корневые подпространства g(fJ,)a из (4.43) имеют § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 409
вид
Q(Jj)sS = t* ® 0s(mod*),o, (4.45)
?MsA+7 = t" ® 0»(modfc),"p (4.45')
где вг,у, г = 1,2, определяются формулой (4.37), а 00,7 — корневые подпространства в 0о и 00,0 = Ьо-Корни
а? = 6-во, (Xi, і є {0,1,... ,1} \ {є}, (4.46)
являются простыми, то есть такими, что каждый корень из Д представляется в виде линейной комбинации корней (4.46) с целыми неотрицательными (для положительных корней) или целыми неположительными (для отрицательных корней) коэффициентами. Как н в случае нетвисторных аффинных алгебр Ли, корни делят на мнимые и вещественные.
Если Но,H1,... ,Hi — элементы из формулы (4.42'), то матрицу
А = (O0J1ij-=O = («і№))',і=о (4-47)
называют матрицей Картана аффинной алгебры g(?).
Построенные аффинные алгебры Ли g(?), где g = A2I, A2I+і, Di+1, E6, Di, обозначают так же, как и алгебру 0, наделяя ее индексом 2 или 3 в зависимости от порядка автоморфизма ц, то есть соответственно символами Affi, Affi+1, D^1,
E?2\ D^3K Этим аффинным алгебрам соответствуют схемы Дынкина, состоящие из простых корней. Они имеют вид
а(2) 2
Affi,I ^ 2 •^j+ij I ^ 3
2 1 оф^о
2 2 2 2 1
2
111 11 410
Глава 2,
где соединения кружков имеют такой же смысл, как и в случае схем Дынкина нетвисторных аффинных алгебр Ли.
4.6. Аффинная алгебра At^K Алгебра A^ строится, исходя из простой алгебры Ли A2 = sl(3, С) и используя автоморфизм fj, порядка 2 (см. п. 4.5). Используя приведенные в п. 4.5 генераторы подалгебры до, элементы которой остаются на месте под действием ц, убеждаемся, что до состоит из кососимметрических матриц из sl(3, С), то есть д0 = so(3,C). Ясно, что dim до = 3. Поскольку dim A2 = 8, то разложение sl(3, С) в сумму собственных подпространств автоморфизма [Л имеет вид
51(3, С) = 50(3, С) + gi, dimgi = 5.
При этом [g0, go] С д0, [?o,0i] С gi и [ox,?i] С Во-
Выбираем подалгебру Картана f)o в so(3, С) и корни ±ai алгебры Ли ?о(3, С) относительно 1)о, где ai — положительный корень. Рассматривая присоединенное представление ad алгебры 5І(3, С), легко находим, что неприводимое представление T0 подалгебры до в gi имеет корни 2ai, at, 0, — <*і, -2аі, причем каждый из них имеет кратность 1. (Предлагаем читателю построить соответствующие корневые подпространства.) Корень во имеет вид во = 2ао- Следовательно, имеем разложение
01 = 01,0 + 01, ai + 01,2ai + 01,-2аг + 01,-ai
пространства 01 в прямую сумму одномерных подпространств.
В алгебре L (s 1(3, С)) = C[i,i-1]<8>s[(3,C) выделяем подалгебру
L(sl(3,C),M) = ® 0i(mod2)),
(2)
где go и 0i — такие же, как выше. Аффинная алгебра A2 совпадает с алгеброй
a^ = L(sI(3,C),m) © Cc ® Cd. § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 411
Распространяем действие линейной формы аі на t) = = 1)о ©Cd, полагая оц(d) = 0, и вводим линейную форму S, полагая S(H) = О при Het)0 и S(d) = 1. Тогда корневая система Д аффинной алгебры Ли A^ совпадает с Д = {sa + + fcai| s Є Z, к = 0, ±1 для четного s и к = 0, ±1, ±2 для нечетного s, (s, к) ф (0,0)}. Все корни имеют единичную кратность.
і
-2 Y-YV Jy2y
I I «і
I I O0+Aai
Рис. 10
Корни ао = S — 2ai и ct\ простые, а корни
(2 3- 1)« - 2ai = (2j - l)a0 + (4j - 4)0?, 1,
jS - oti = ja0 + (2j - l)ab 3> 1.
JS = joto + 2jau j > h
U- - 1 )S + ai = U- l)«o + (2j - l)ai, 1,
(2j- 1)5 + 2ai = (2j - l)a0 + Ajau 3> 1,
положительны. Корневая система алгебры A2 ' показана на рис. 10. Положительные корни выделены пунктирной линией. Непосредственные подсчеты показывают, что матрица Картана алгебры A^ имеет вид
/ooo аоЛ _ / 2 -1 \ \ою «її/ V -4 2 ) 412
Глава 2,
4.7. Универсальная обертывающая алгебра. Пусть аЄД+ аЄД+
— разложение (твисторной или нетвисторной) аффинной алгебры Ли ? в сумму корневых подпространств, где Д+ — положительные корни. Введем подпространства
"+ = 5а, = У] 5-а-
аЄД+ аЄД+
Поскольку для положительных корней а и ? имеем [1)а, \)?] с С Ьа+?, если а + ? — корень, [f)a, ї)/з] = {0}, если а + ? не является корнем, и сумма положительных корней не может быть отрицательным корнем, то п+ и п_ — подалгебры В 0.
Пусть — универсальные обертывающие ал-
гебры соответственно для алгебр Ли g,n+,n_,fj. Тогда, как и в случае полупростых комплексных алгебр Ли (см. п. 1.5), имеем
© = = W+ioOL.
Чтобы задать базис в 91_, выбираем упорядочение ?i > > /? > .. - корней из Д+ и в каждом из корневых подпространств Q-?i задаем упорядоченный базис е_/з;1,... Разместив эти базисы в соответствии с упорядочением корней, получим упорядоченный базис подалгебры п_, где E^ совпадают с соответствующими е-рзГ. Произведения
Е(«г)?;(іі)... ?(.,), р = 0,1,2,...,
образуют базис в Подобным образом вводятся базисы в 91+ и S). Элементы, являющиеся упорядоченными произведениями базисных элементов для Sj и 91+, образуют базис универсальной обертывающей алгебры &. § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo
