Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(і(Е'аі) = E1lliai), ?(E'_ai) = ELlllai), і =1,2,...,/.
Для автоморфизмов порядков 2 и 3 имеем соответственно разложения
0 = 00 + 01, 0 = 00 + 01 +02- (4.36)
Построим подалгебру 0о отдельно для каждой из алгебр Ли A2I, A2I-I, Di-j, D4. Для этого достаточно задать порождающие элементы этой подалгебры.
Алгебра Ац. В этом случае ц(оч) = а2і-і+і- Базисные элементы подалгебры 0о имеют вид
Ні = Н'і+Щі_і+1, Ю'^-1, Яо = 2(Я/+Я/+1),
Ei = Е[ + E'2l_i+l, I^i ^ 1-І, E0 = у/2(Е[ + Е[+1),
Fi = F! + Fi,_i+1, I^i ^1-1, F0 = V2(Fl + F{+1). § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 405
Алгебра A^i-I- Здесь ц(аї) = а2і-і- Для базисных элементов подалгебры до имеем
Hi = Hi + H2l_f, l^i^l-1, H1 = H11, Ei = E1i + 1 ^ і ^ I - 1, E1 = E11,
Fi = F1i+F^i, l^i^l-1, F1=F;.
Алгебра Di+i. Теперь Ii(Oti) = Oti, і = 1,2,...,/ — 1, ц(а{) = cti+i, ц(сч+1) = aj. Поэтому для базисных элементов в до имеем
Hi=H1i, Ei = E1i, Fi = F!, 1 ^ г ^ / - 1, Ht = Н[ + H'l+l, Ei = E'i + E'l+1, Ft = F{ + F(+1.
Алгебра D4. Имеем fJ,(ot\) = а4, ц(а2) = а2, ц(а3) = Ct1, fj,(ct4) = а3 (корень а2 соединен с каждым из корней ai, аз, 04). Базисные элементы подалгебры до имеют вид
Hx = Н[ + Н'ъ + H4, Ei = Е[+ E3 + E14, Fi =Fl +F^ +Fi, H2=H12, E2=E12, F2 = Ft2.
В каждом рассмотренном случае подалгебра до проста.
Подпространство f)o = ^lCHi является подалгеброй Картана
і
в до- Простые корни алгебры до относительно этой подалгебры, отвечающие корневым элементам Ei, Fi, будем обозначать через ?i.
Из формулы (4.35) вытекает, что
[?o)0o]cgo, [go>0i]Cgi, [00,02] С 02-
Поэтому ограничения присоединенного представления ad алгебры Ли g на подалгебру до приводимо. Обозначим соответствующие представления алгебры до в gi и Q2 через T0 и Ti. Справедливо такое
Утверждение 1. Представление То неприводимо. Оно эквивалентно представлению Ti (если оно существует). Подпространство gi разлагается в сумму корневых подпространств относительно подалгебры Картана f)o подалгеб- 406
Глава 2,
ры 0о: 0i = 0 + ? 0л (Л — ненулевые линейные формы на Ij0). л
Подпространства 0д одномерны. Среди форм А существует
точно одна форма в0 = ai?i «і — целые неотрицатель-
і
ные числа), такая что любая другая форма А получается из O0 вычитанием простых корней ?i. Для подпространства Q2 разложение в сумму корневых подпространств и форма во имеют такой же вид, как для 0i- Система простых корней ?i и соответствующие числа ai задаются таблицей 4.
Предлагаем читателю доказать это утверждение для каждой из перечисленных алгебр Ли 0.
Таблица 4
Алгебра Ли 0
Корневая система и числа щ
Разложения пространств 0i и 02 в сумму собственных подпространств операторов adH,H є 1)о, из формулировки утверждения 1 запишем в виде
01 = 01,0 + S1-T' 02 ~ 02.° + X] 02'Т- (4-37)
7ЄД1 7ЄД1
Легко видеть, что вместе С формой 7 множество Ді содержит форму —7 и
[0і,7'0«,-т] с Ijo- § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 407
Поскольку представления То и T1 эквивалентны, то dim gI1O = = dim02,о- Справедливо равенство
dim t) = dim l)o + dimglj0 + dim02,o
(последнее слагаемое присутствует только для алгебры D^, когда автоморфизм ц имеет порядок 3). Поэтому если
N = dim t) = rankg, I = dim 1)о = rankg0,
то
dimg1>0 =N-I, (4.38)
если fl имеет порядок 2, и
dimgIjO = dim02,o = - I), (4.39)
если fj, имеет порядок 3.
Введем инвариантную билинейную форму
(;-) = сВ(; •), О О,
на g так, чтобы для элемента Ha, соответствующего длинному корню а алгебры д, имели (На,На) = 2к, где к — порядок автоморфизма ц(к = 2 или к = 3). Ограничим форму (•, •) на Ij0 и образуем такое отображение v из Ijo в пространство линейных форм на f)o, что
ИЯ))(Я') = (Я,Я'), Н,н'еь О-
Это отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами из f)o и t)'0.
Выберем в и 0і,-ео такие элементы Ee и Fe (є = I для алгебры 0 = Ац и є = 0 для других алгебр), что (Ee, Fe) = 1. Положим
[FE, Ee] = He
(можно показать, что НЕ = —v 1(0о))- Теперь можем построить порождающие элементы твисторной алгебры Ли e(?), 408 Глава 2,
где 0 — одна из рассмотренных выше алгебр Ли (то есть 0 = Ац, Л2і+1, Di+1, D4). Положим
OO
g(fj) = L(g, fj) © Cc © Cd, где L(g, ц) = № ® ?i(modfc))
J=-OO
(к — порядок автоморфизма р). Пусть f) = f)o ©Ce ©Cd. Тогда I) — максимальная коммутативная подалгебра в ?(//). Определяем линейную форму б на f), положив 6(d) = 1 и S(H) = О для H Є bo Ф Ce.
Рассмотрим элементы
ec=t®Fc, fc=t~1®Ec, (4.40)
е{ = 1®Еи fi = 1® Fi, (4.41)
где є = I для 0 = A2I и є = О для других алгебр, а г пробегает значения 0,1,2,... ,1 без значения є. Справедливы коммутационные соотношения
[ei,fi] = Hi, [ee,fe] = с-V-1^o). (4.42)
Элементы
ej, fj, Hj, j = 0,1,...,1, (4.42')
где Hc = с — V-1^0), порождают аффинную алгебру g(fj). Корневое разложение алгебры g(?) имеет вид
SM = f)+^SMa, (4.43)
а€Д
где корневая система Д совпадает с
Д = {s«51S Є Z, s ф 0} U {sa + 71 s Є Z, 7 Є Дг, (4.44) где S = r(mod к), г = 0,1,... , к — 1},
