Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
О = O - Qo = OlCKl + • • • + flIaI (мы учли, что на всех диаграммах O0 = 1).
4.4. Алгебра Вирасоро. В п. 4.1 мы ввели алгебру L(q)=L{q)®?c, в которой действует оператор d = do = t-^. Введем в L(g) также операторы
ds=ts+1ft, dg (с) = 0, « = 0, ±1, ±2,...
Очевидно, что эти операторы являются дифференцированиями алгебры Ли L(g), то есть что
ds[a,b]о = [4(а),Ь]о + [o,d8(b)]0, а,Ь Є L{g).
Покажем, что d8 является дифференцированием алгебры Ли L(q). Поскольку с — элемент центра, то достаточно показать, что
dg([a + Xe, b + fic]) = [dg{a),b] + [o,d8(b)], о, b Є L(0). (4.22) Вследствие определения коммутатора [•, -] в Z(g) получаем
d„([a + Xc,b + де]) = ds([a,b]o) = [ds(a),b]0 + [a, d„(b)]0.
(4.23)
Чтобы доказать равенство (4.22), достаточно показать, что правые части в (4.22) и (4.23) равны друг другу, то есть что выполняется тождество
B{dg{a),b) + B{a,ds{b)) = 0. § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 401
Справедливость этого тождества показывается непосредственной проверкой. Следовательно, операторы ds,s = 0, ±1, ±2,... являются дифференцированиями алгебры Ли L(g). Образуем линейное пространство
oo
V= Yi cd^ (4-24)
s=-oo
и введем в нем операцию коммутирования
= didj — djdi.
Используя вид операторов ds, находим
[<*, dj]о = (j - i)di+j, і, j = 0, ±1, ±2,... (4.25)
Эта операция коммутирования превращает V в бесконечномерную алгебру Ли.
Построим центральное расширение Vir алгебры Ли V, добавив к ней центральный элемент с:
Vir = V ® Ce.
Коммутатор в Vir вводим формулой
[di,dj] = [di, (Ij)0 + ~(j3 - j)6i-jc =
= U - i)di+j + f - (4.26)
Прямые вычисления показывают, что билинейная форма B(di,dj) = J^U3 ~ удовлетворяет условиям коциклич-
ности (4.6) и (4.7), то есть, что формула (4.26) в действительности является коммутатором (удовлетворяет условию антисимметричности и тождеству Якоби). Построенную алгебру Ли Vir называют алгеброй Вирасоро. Она играет важную роль в современной теоретической физике.
Алгебру Ли (4.24) можно трактовать как комплексифи-кацию алгебры Ли VectS1 вещественных векторных полей на окружности S1. Элементами алгебры VectS1 являются 402 Глава 2,
формы /(0)4І, где / — гладкие функции с вещественны-
qv
ми значениями, причем в — параметр на окружности S1 и f(0 + 27г) = /(0). Коммутатор для таких векторных полей задается формулой
№-fg№4i, (4.27)
где штрих обозначает производную. Векторные поля
(cos n?)4., (sin пв)±, п = 1,2,3,..., (4.28)
образуют базис алгебры VectS1. Переходя от этого базиса к элементам
dn = і(ехр іпв) ~ = ~zn+1 -f, z = ехр І0, da dz
n = 0, ±1,±2,... , (4.29)
получим базис комплексификации алгебры Vect S1, то есть базис алгебры V.
Алгебру VectS1 можно рассматривать как алгебру Ли бесконечномерной группы G = DifFS1, элементами которой являются диффеоморфизмы окружности S1, сохраняющие ориентацию. Групповой операцией в G является последовательное выполнение (умножение) диффеоморфизмов. Если / — элемент векторного пространства Cco(Sx) гладких комплексных функций на S1, то 7 Є G действует на C00(Sj) по формуле
т(7 )f(z) = /(7 "М- (4.30)
Чтобы показать, что VectS1 действительно является алгеброй Ли для G, допустим, что 7 — элемент из G, близкий к единице. Тогда
7(z) = z(l + e(z)) = z + jjr enzn+1, z = exp i0, (4.31) § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo
403
где осуществлено разложение Лорана функции e(z). Тогда
oo
^1(Z) = Z- Y (4'32) п=—оо
Поэтому
Al)/(*) = Rz - $>nzn+1) = (1 + 5>„d„)/(z), (4.33)
n n
где dn определяются формулой (4.4). Это показывает, что алгеброй Ли группы DifF S1 является VectS1.
Заметим, что группой Ли нетвисторной алгебры Ли 0, отвечающей простой алгебре Ли 0, является так называемая группа токов, состоящая из гладких комплексных функций со значениями на группе Ли G, имеющей 0 своей алгеброй Ли.
4.5. Твисторные аффинные алгебры Ли. Такие алгебры Ли являются подалгебрами нетвисторных аффинных алгебр 0. Они выделяются с помощью автоморфизмов er соответствующей простой алгебры Ли 0, таких что ат = 1, т Є Z+. Если а — такой автоморфизм алгебры Ли 0, то 0 раскладывается в прямую сумму его собственных подпространств, принадлежащих собственным значениям ?j =ехр Щ^-, J = 0,1,2,... ,m — 1:
rn-l
0 = ф Si- (4.34)
i=o
При этом
[0fcr0r] С 0S, (4.35)
где S = (k + r)(modm). В частности, 0о — подалгебра Ли в 0. Пусть L(q) = C[i,i-1] <g> 0 — алгебра Ли, построенная
OO
в п. 4.1. Ее можно представить в виде L(q) = (iJ <g> 0). Вследствие формулы (4.35) подпространство i=-°о
OO
Д0, О-)= Y ®0j(modm)) 404
Глава 2,
имеет свойство
[?(0,0-), L(g,o-)]о С ?(0,0-)
и потому является подалгеброй в L(g). Соответствующая твисторная аффинная алгебра Ли совпадает с алгеброй
д(а) = Ь(д, о-) ф Cc ® Cd.
Твисторные аффинные алгебры Ли строятся с помощью так называемых схемных автоморфизмов алгебры Ли 0. Такие автоморфизмы отвечают симметриям соответствующих схем Дынкина. Из перечисленных в п. 2.1 схем Дынкина простых алгебр Ли вытекает, что симметрии допускают схемы Дынкина алгебр Ли Ai (перенумерация простых корней в обратном порядке), Di,E?,D4, F4, G2, причем симметрии для алгебр Ли Ai, Di, E?, F4, G2 имеют порядок 2, а для алгебры D^ — порядок 3. Соответствующие автоморфизмы алгебр Ли обозначаем через ц. Пусть Е\ = E1oci, F[ = ELai, Щ, і = 1,2,... , I, — порождающие элементы алгебры Ли 0 из теоремы 9 в § 1. Автоморфизм ц определяется формулами
