Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2,
что подгруппы AhN связны и односвязны, а отображение (Л, п, к) hnk Є G является аналитическим диффеоморфизмом многообразия AxNxK на G = ANK. Это означает, что связность группы G определяется связностью подгруппы К. Если подгруппа К односвязна (n-связна), то такой же является и группа G. Это дает удобный способ для определения связности группы G и для нахождения универсальной накрывающей для G.
Для того чтобы определить связность подгруппы К учитываем связность групп SU(п), SO(n) и Sp(n). Связность последних совпадает со связностью комплексных групп SL(n, С), SO(n, С) и Sp(n, С) соответственно. Они определены в п. 2.6.
Группа U(1) ~ SО(2) бесконечносвязна, то есть она имеет универсальную накрывающую, которая накрывает ее бесконечное число раз. Из этого замечания видно, что группы SU(p,q), SOo(p,2), Sp(n,R), SO*(2n) имеют универсальные накрывающие, которые накрывают их бесконечное число раз.
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро
4.1. Нетвисторные аффинные алгебры Ли. Пусть 0 — комплексная простая алгебра Ли, I) — ее подалгебра Картана, Д — множество всех корней алгебры0 относительно!),а
0 = і) + E (4-1)
аєд
— разложение алгебры 0 в сумму корневых подпространств. С помощью алгебры g построим бесконечномерную алгебру Ли. Для этого используем алгебру С[?, ?-1] многочленов Лорана. Элементами алгебры С[?, ?-1] являются функции
P(t, Г1) = Y "п?" + Л bmt~m> Ь™ е С' (4'2)
п^О т>0
где только конечное число коэффициентов отлично от нуля. Функции (4.2) являются многочленами от ? и ?-1. Алгебраическими операциями в алгебре C[f,t-1] служат обычные умножение и сложение функций. § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 393
Образуем так называемую алгебру Ли петель
L(g)=C[t,t_1]®fl,
коммутационные соотношения в которой задаются формулами
[P®X,Q®Y]0 = PQ®[X,Y], P5QeCtM"1], X,Feg.
(4.3)
Если Xi5X2,... ,Xn — базис алгебры д, то элементы
IgiXi, tk®Xi, t~k®Xi, і = l,2,...,n; fc = 1,2,... ,
(4.4)
образуют базис алгебры петель L(g).
Выполним центральное расширение алгебры Ли L(g). Для этого введем в С[?, t-1] линейный функционал Ф, действующий на элементы (4.2) согласно формуле Ф (P) = bi. С его помощью определяем билинейную форму В на C[i, t"-1]:
®(P,Q) = (4.5)
Легко проверить, что
®(P,Q) = -@(Q,P), (4.6)
®(PQ, R) + S8(QR, Р) + @(RP, Q) = 0. (4.7)
Форма Киллинга В на алгебре Ли g имеет свойства симметричности и инвариантности:
В(Х, Y) = B(Y, X), B{[Z, X], F) = -В(Х, [Z, F]) (4.8)
(см. п. 1.1). С помощью форм 38 и В соответственно на С[t, t-1] и g строим билинейную форму В на L(g). На элементах P ® X є L(g) определяем ее формулой
В(Р ® X, Q ® F) = В(Х, F)$ (fg) 394 Глава 2,
и распространяем на всю алгебру L(g) согласно линейности. В частности,
B{tm ®X,tn®Y) = т6т,-пВ(Х,Y). (4.9)
Из формул (4.6)-(4.8) вытекают свойства коцикличности формы В:
Bia, Ь) = -Bib, а), а,Ь Є L(g), (4.10)
Ві\а, Ь]о, с) + ВЦЬ, с]о, а) + ВЦс, а]о,b) = 0, а,Ь,сЕЦд),
(4.11)
что дает возможность сделать расширение алгебры Ли jL(g) с помощью центрального элемента с. Мы получаем новую алгебру Ли I,(g) = L(g) ©Ce, коммутационные соотношения [•, •] в которой задаются формулой
[а + ас, b + ?c] = [а, b]0 + В(а, Ь)с, a, be Цд), a,?eC,
(4.12)
где [а, Ь]о — коммутатор в L(g), а В — введенная выше билинейная форма на Lig). В частности,
[tm О X + ас, tn®Y + ?c] = tm+n ® [X, Y] + m6rn^nB(X, Y)c.
(Предлагаем читателю с помощью формул (4.10) и (4.11) проверить, что коммутатор (4.12) антисимметричен и удовлетворяет тождеству Якоби, то есть что L(g) действительно является алгеброй Ли.)
Для построения аффинной алгебры JIu д, соответствующей простой алгебре Ли д, проведем дальнейшее расширение алгебры jL(g). Присоединим к L(g) элемент d = задавая коммутатор для d сси элементами из L(g) формулами
[d,P® X] = -[P ® X,d[ = t^ <8 X, [d,c] = -[c,d\^ 0. § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo 395
Таким образом, аффинная алгебра Ли g — это бесконечномерное линейное пространство
0 = L(g) © Cc © Cd,
в котором коммутатор задается формулой
[(tm О X) + ac+?d, (tn О F) + ?c + ?'d\ = = [(tm О X) + ас, (tn О F) + ?c] + + ?[d, (t" O F)] - p![d, (tm O X)] = = tm+n О [X, F] + ?n{tn O F) -- p!m(tm OX) + mSm,-nB(X, Y)c. (4.13)
Аффинные алгебры Ли g, соответствующие простым комплексным алгебрам Ли Ai, Bi, Ci, Di, Ев, Ет, Es, F^, G2, обозначают соответственно через
AW, B« Ср>, Dp), Ер), Е?\ Ef\Ff), Gp).
Их называют нетвисторными. (Для них используется также название нескрученные аффинные алгебры Ли.) Твисторные аффинные алгебры Ли построены ниже.
4.2. Корни и корневые подпространства нетвис-торных аффинных алгебр Ли. Пусть і) — подалгебра Картана комплексной простой алгебры Ли д. Тогда
f) = Г) + Сc + Cd
— максимальная коммутативная подалгебра соответствующей аффинной алгебры Ли g. В п. 1.4 мы ввели пространство \)'R линейных форм на I). Расширим формы А из \)'R на все пространство Ц, положив А(с) = A(d) = 0. Введем также линейную форму S на t), считая, что
