Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 115

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 154 >> Следующая

aK о—о-----az>o я,A2 Я(+ (/=2/+1, /,>2) 4 при і < 1+, 4 при 1 = 1+ 0 1 SO* (41+ +2) Таблица 2

Тип Алгебры Ли Простой корень комплексной Алгебры Ли g Простой ограниченный корень пары (во, о) m(Aj) m(2Aj) Соответствующая группа Ли
AI а, O2 а, Я, 1 О S?(I + 1,B)
Я,Л2 Aft (/=2/,+1 . /+>1)
AII or, 4 О SU' (21+ + 2)
AIII (Г .1 О—О- ¦ ¦ • —COO A1 A2 Я„ (2</t<//2) 2 при j < J+, 2(1 - 21+ + 1) при J = /+ О j SU (1+,1 — J+ + I)
a, Ct2 ai.
GL O1O2 «/»-і О—О- • —Ot=D A1A2 Au (1=21-1 ./,>2) 2 при і < 1+, 1 при і = 1+ О О su(i+,і+)
AIV Ч 2(1 - 1) 1 SU(l,l)
«і
BI O-O- --- —<хэо A1A2 А(+ (/>2 ,2</+</) 1 при г < J+, 2(1 - J+) + 1 при І = 1+ о о SOo(l+,2l — J+ + 1)
BII о— «і --ОТІ- 0A1 21-1 о SO0(MJ)
CI о—о- ¦ а, Qj •• —»<=D «1 о—о- • • • —о<лз ЯА Я, 1 о Sp(l, Я)

W

00 00

Sj

в а е

CII a, a-2 ---о—•----оЇЛ aU o—o-----az>D Я,Я,2 (/>3 ,!</,< ^1) 4 при і < J+, 4(1 - 21+) при І = 1+ O 3 і Sp(l+,l-l+)
a, ---0-405 O-O- --- —o<=o A1A2 Au (1=21,, I >2) 4 при і < І+, 3 при і = 1+ O O Sp(l+,l+)
DI a, (? T-"< A1A2 A^ (/>4 . 2<L<l-2) 1 при і < І+, 2(1 - І+) при і — 1+ O O SOe(l+,2l -1+)
DI a, «2 Of 1 O-O- —a=>o A1A2 1 при і < 1 — 1, 2 при і = І - 1 O O SOoO — 1,1 + 1)
a, O2 --O «1 1 о-._____ ^ ям 1 O SO0(ItI)
Dn «і ч 2/ — 1 O SOo(2l - 1,1)
DIU Of1 Ctu-, О—о- -OC=D А| А|> А,, (/=2/. , /+>2) 4 при і < І+, 1 При і = I-f O O SO'(41+)
a, -CO о—о-----az>o я, я2 Au (1=21+1, /,>2) 4 при і < І+, 4 при і = /+ 0 1 SO'(41++2) 390

Глава 2,

всех ограниченных корней пары (go, а), а Д+ — положительные корни из Д. Образуем суммы

n = 0O' n = S 0оА-

аєд+ аєд+

Поскольку [go,go] С д<з+/\ то п и п~ — нильпотентные подалгебры Ли в до- Можно показать, что они являются максимальными нильпотентными подалгебрами в до-

Теорема 5. Имеет место разложение до = ? + о + п, где сумма прямая.

Доказательство этой теоремы приведено в [63]. Разложение go = 6+ а + п называют разложением Ивасавы алгебры д0.

Пусть теперь G — связная группа Ли с конечным центром, имеющая алгебру Ли до, а К — максимальная компактная подгруппа в G с алгеброй Ли 6. Пусть, далее, N = ехрп и A = ехр а — аналитические подгруппы в G с алгебрами Ли п и а соответственно.

Теорема 6. Каждый элемент g EG однозначно разлагается в произведение g = hnk, где h E А, п E N, к E К. Кроме того, отображение (h,n,k) hnk E G является аналитическим диффеоморфизмом многообразия AxNxK (декартово произведение) на G. Подгруппы AuN связны и односвязны.

Доказательство теоремы можно найти в [63]. Разложение элементов группы G в произведение элементов подгрупп A, N и К называют разложением Ивасавы. Оно является глобальным аналогом разложения Ивасавы для алгебры Ли до-

Пример 7. В примере 5 мы нашли корни и корневые подпространства алгебры Ли sI(n,R). При этом в качестве подалгебры а выбрана подалгебра всех диагональных матриц из sI(n,R). Ясно, что при определенном выборе положительных корней подалгебра п совпадет с множеством верхних треугольных матриц с нулями на главной диагонали. Поскольку t = so(n), то разложение Ивасавы алгебры Ли si(n,R) является разложением матриц в сумму косо-симметричной, диагональной и верхней треугольной (с нулями на главной диагонали) матриц. Подгруппа N = ехр п группы SL(n, R) состоит из верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали, А = ехр а состоит из всех диагональных матриц §3. Вещественные формы

391

из SL(n, R). Разложение Ивасавы для группы SL(n, R) является разложением вещественных матриц с единичным определителем в произведение ортогональной, диагональной и верхней треугольной матриц.

Пример 8. Приняв обозначения примера 6, разложение Ивасавы алгебры дд можно записать в виде дд = ? + f)* + п, где п — максимальная нильпотентная подалгебра, натянутая на базисные элементы Ea,Ea с положительными корнями а. Разложение Ивасавы группы Ли SL(n, С) является разложением матриц в произведение унитарной, диагональной (с положительными элементами) и верхней треугольной (с единицами на главной диагонали) матриц.

Разложение Ивасавы группы G записывают также в виде G = ANK. Подгруппа AN разрешима. Она является полупрямым произведением своих подгрупп AhN. Поэтому AN = NA. Это означает, что разложение Ивасавы можно записывать также в виде G = NAK. Поскольку

G = G'1 = (ANK)'1 = K-1N-1A-1 = KNA,

то разложение Ивасавы также записывают как G = KNA или G = KAN.

Пусть G = KAN — разложение Ивасавы группы G, a g0 = = 6 + р — разложение Картана ее алгебры Ли, где t — алгебра Ли подгруппы К. Разложению go = 6 + р, как мы видели, соответствует глобальное разложение G = К&, где & = ехр р.

Теорема 7. Пусть в — инволютивный автоморфизм Картана алгебры Ли д, связанный с разложением g = t + р, а & — соответствующий ему автоморфизм группы G. Для каждого s є AN определим отображение

¦ф: S i-> G(S)S-1.

Тогда ©(s)s-1 є & и, кроме того, -ф является диффеоморфизмом группы AN на S6.

Доказательство этой теоремы можно найти в [63].

В заключение этого пункта заметим, что разложения Ивасавы полупростых групп Ли применяют для изучения связности этих групп. Действительно, выше упоминалось, 392
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed