Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 2. Выше мы ввели сопряжение сг комплексной алгебры Ли g относительно др. Для корня q алгебры 0 определим корень а." по формуле а"{Н) = п(а(Н)). Необходимо показать, что при ограничении на о корни Q и а" переходят в один и тот же ограниченный корень пары (0о, а).
3.4. Вещественные формы комплексных простых алгебр Ли. Как показано выше, комплексная простая алгебра Ли имеет с точностью до внутреннего автоморфизма одну компактную вещественную форму. Некомпактные вещественные формы до простых комплексных алгебр Ли 0 можно классифицировать, задав простые корни алгебры 0 и простые корни А,- пары (0о, а) и указав кратности m(А,) и m(2Aj) корней Ai и 2А,-. Эта классификация для простых классических алгебр Ли приведена в табл. З, в которой также указаны соответствующие вещественные простые группы Ли. Простые корни алгебры 0 обозначены черным кружком, если они принадлежат P-, и белым — если P+. Простые корни а и аа алгебры 0 соединены двусторонней стрелкой (они переходят в один и тот же ограниченный корень). Простые ограниченные корни соединены одной, двумя или тремя линиями в зависимости от угла между ними (120°, 135° или 150° соответственно). Между несоединенными корнями угол равняется 90°. Длины ,корней в табл. 3 не указаны. Они определяются следующими правилами. Корни, соединенные одной линией, имеют одинаковую длину. Если корни соединены двумя (тремя) линиями, то квадрат длины одного из них в два (три) раза больше квадрата длины другого. Чтобы определить, какой из корней короче, линии, соединяющие корни разной длины, снабжены стрелками. Стрелка направлена в сторону меньшего корня. В табл. З I — ранг комплексной алгебры Ли 0, а 1+ — вещественный ранг вещественной алгебры Ли 0О. Если ранг алгебры 0 равняется вещественному рангу алгебры 0о, то вместо 1+ пишем I.
Видно, что система простых корней (без учета кратностей) каждой из вещественных форм 0о совпадает с системой простых корней некоторой комплексной простой алгебры Ли. В таких случаях имеем совпадение соответствующих §3. Вещественные формы
387
Fpynn Вейля. Приведенные в табл. 3 данные позволяют (с помощью группы Вейля) восстановить всю систему ограниченных корней с кратностями.
3.5. Классификация вещественных простых групп и алгебр Ли. Классификация вещественных простых алгебр Ли задается такой теоремой:
Теорема 4. Вещественные простые алгебры Ли исчерпываются с точностью до изоморфизма такими классами алгебр Ли:
(а) компактные вещественные формы простых комплексных алгебр Ли-
(б) некомпактные вещественные формы простых комплексных алгебр Лщ
(в) простые комплексные алгебры Ли, рассматриваемые как вещественные алгебры Ли удвоенной размерности.
Доказательство этой теоремы приведено в [17].
Классификация вещественных простых алгебр Ли классов «а» и «в», а также классификация вещественных форм простых классических комплексных алгебр Ли приведена выше. С вещественными формами простых комплексных алгебр Ли E6, E7,Es,F^,G2 можно ознакомиться в [17].
Чтобы получить классификацию вещественных простых групп Ли (с точностью до локального изоморфизма), достаточно для каждой из вещественных простых алгебр Ли найти одну соответствующую ей связную группу Ли. Как по простой группе Ли найти класс локально изоморфных к ней групп Ли, описано в гл. 3. Простые группы Ли, соответствующие вещественным формам классических комплексных простых алгебр Ли, приведены в табл. 3.
3.6. Разложение Ивасавы. Разложение Ивасавы вещественной некомпактной полупростой алгебры Ли играет важную роль в теории представлений. С помощью этого разложения строятся индуцированные представления этой группы.
Пусть до — вещественная некомпактная полупростая алгебра Ли, 0о = t + р — ее разложение Картана, а о — максимальная коммутативная подалгебра в р. Пусть Д — система Таблица 2
Тип Алгебры Ли Простой корень комплексной Алгебры Ли g Простой ограниченный корень пары (до, о) т(А<) т(2А;) Соответствующая группа Ли
AI «і O2 а, Я|Л2 Я/ 1 О SL(l + I1R)
AII Qr1 Я|Л2 Af (/=2/,+1 . /(>1) 4 О SU' (21+ + 2)
AIII О «1°2 О/, O-O- ¦¦¦ —а=>о Л, A2 Xu (2</t<//2) 2 при і < 1+, 2(1 - 21+ + 1) при » = 1+ 0 1 St/(l+,I-I+ + I)
(j: !>. «|СГ2 а, , O-O- —o<=D (/=2/+-1 ./,>2) 2 при і < 1+, 1 при і = (+ О О 51/(1+,1+)
AIV «1 Ч 2(1 - 1) 1 SfZ(I1I)
BI а, а2 O-O- --- —<хэо ЯЛ (/>2 ,2</+</) 1 при г < 1+, 2(1 - 1+) + 1 при і = 1+ О О 50o(I+,2!-l+ + l)
BII О—»-----CE^* а, Ч 21-1 о SOo(l,2!)
CI О—О- -•- —»СЮ а, а2 а, О—О- — ——- A1A; А 1 о RJ j і
CII а, C2 о—о-----az>D A1Ai Я(д. (/>3 ,!</.< 4 при і < I+, 4(1 - 21+) при І = 1+ о 3 Sp(l+,l-!+)
ф—о—9-----0~»<=0 а, а,„ о—о- --- —о<=о Л|Я2 0=2/+,/4>2) 4 при і < I+, 3 при і = 1+ о о SPC+,'+)
DI аха2 a,t A1 (1 >4 . 2</,</-2) 1 при і < 1+, 2(1 - і+) при і — 1+ о о 50o(l+,2I-l+)
DI ------О Om о-о- —а=>о A1A2 А;,, 1 при І < I — 1, 2 при i = l-l о о 50o(l- 1,1 + 1)
~_____ а,, о-._____ iA ям 1 о SO0(M)
Dn - -< Ч 21-1 о 50o(2I -1,1)
DIII «/,і О—о- —OCZD /Ij Ao А,, ('=2/. , /+>2) 4 при і < 1+, 1 при J = I+ о о SO* (41+)
