Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1.27) можно записать в виде
2 2
2 Г^.^ = -2 Г
i J i J i
где индекс I у оператора V означает производную по г*. Если внутренние
силы также консервативны, то силы /у и Fj4, являющиеся силами
взаимодействия между г'-й и /-й частицами, могут быть получены с помощью
некоторой потенциальной функции Vy. Чтобы удовлетворить закону действия и
противодействия, потенциал Уц должен быть функцией расстояния между этими
частицами, т. е. должно иметь место равенство
Vij^Vijiln-rjl). (1.30)
Тогда силы F{j и Fj{ будут равны и противоположно направлены, так как
Fji = - Wti = + = - Fij- С1-31)
Кроме того, они будут направлены вдоль прямой, соединяющей
рассматриваемые частицы, и можно будет написать
Ftj (rt - rj) = (г* - r3) /, (1.32)
где /-некоторая скалярная функция.
Если бы 1/у была функцией разности других векторов, связанных с
материальными точками, например разности их скоростей или (беря пример из
современной физики) внутренних кинетических моментов - "спинов", -то силы
были 'бы равными и противоположными, но не лежали бы на прямой,
соединяющей две данные частицы.
В случае, когда все силы, F'f> и Fy, являются консервативными, второе
слагаемое в правой части равенства (1.27) может быть записано в виде
суммы членов вида
2
У У ij ¦ ЧjVij ¦ dSj).
i
Если разность векторов г* - rj обозначить через Гу, а для градиента по Гу
ввести оператор Vy, то будем иметь:
^ Уц - VijVij - - V У ij
и
dSi - dSj - drx - dr j = dry, и член с индексом IJ примет вид
J* ^ 1У Ч ' ^ГЧ'
§ 1.3]
связи
23
Тогда полная работа внутренних сил будет равна
г
2 J Vy • ? 2''"Г • (L33)
i, j 1 i, J 1
(Коэффициент 1/2 появляется здесь вследствие того, что при суммировании
по i и по j каждый индекс данной пары встречается дважды: при
суммировании по i и при суммировании по /.)
Из изложенного ясно, что если внутренние и внешние силы имеют потенциал,
то можно говорить о полной потенциальной энергии системы, понимая под ней
сумму
V
=2^+т2^- (L34)
г, j Ijrj
При этом полная энергия T~\~V будет оставаться неизменной. Эта теорема
является аналогом теоремы (1.17) для одной материальной точки.
Второй член правой части (1.34) называют внутренней потенциальной
энергией системы. Она, вообще говоря, отлична от нуля и, что весьма
важно, может изменяться вместе с изменением самой системы с течением
времени. Только для частного класса систем - для твёрдых тел - внутренний
потенциал есть величина постоянная. Формально, твердое тело можно
определить как систему материальных точек, расстояния между которыми
постоянны и не могут изменяться со временем. В этом случае величины г у
постоянны, и поэтому векторы drtj перпендикулярны к соответствующим
векторам Гу, а следовательно, и к силам Ftj. По этой причине в твёрдом
теле внутренние силы не совершают работы, и внутренний потенциал должен
оставаться постоянным. Так как полный потенциал во всех случаях есть
величина, определенная лишь с точностью до аддитивной постоянной, то
постоянный внутренний потенциал можно при исследовании движения системы
совершенно не рассматривать.
§ 1.3. Связи. На основании сказанного до сих пор может сложиться
впечатление, что все задачи механики сводятся к решению дифференциальных
уравнений
m-fi - 2 Fa 4- FT'
j
т. e. к подстановке в эти уравнения известных сил, действующих на
материальные частицы системы, и выполнению определенных математических
операций, дающих решение задачи. Однако даже с чисто теоретической точки
зрения такое представление является
24
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
чрезмерно упрощённым. Дело в том, что может оказаться необходимым учесть
связи, ограничивающие движение системы. Один вид такой системы нам уже
встретился - это было твёрдое тело. Связи, накладываемые на его движение,
состоят в том, что расстояния между его точками должны оставаться
неизменными. Легко привести и другие примеры систем со связями: так,
например, "косточка" на конторских счётах ограничена в своём движении
проволокой, на которую она надета, и поэтому имеет одну степень свободы
(если рассматривать только поступательное движение).
Связи можно классифицировать по различным признакам. Мы будем
придерживаться следующей классификации. Если ограничения, накладываемые
связями, могут быть выражены в виде равенств, связывающих координаты
частиц (и время), т. е, выражены в виде равенств
f(rvr2>r3 0 = 0, (1-35)
то мы будем называть эти связи голономными. Простейшим примером
голономных связей могут служить связи в твёрдом теле, которые выражаются
уравнениями вида
(г{ - г^2~су = 0.
Другим очевидным примером голономной связи может служить точка, имеющая
возможность перемещаться лишь вдоль заданной кривой.
Связи, не выражаемые указанным образом, мы будем называть не голономными.
Примером неголономной связи могут служить стенки сосуда с газом. Связь в
примере с частицей, лежащей на поверхности шара, также является
неголономной, так как она может быть выражена посредством неравенства
гг - 0
