Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 89

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 161 >> Следующая

dt У 1 - ?0
Согласно этому уравнению сила не определяется ускорением точки, и даже
направления этих векторов будут в общем случае различными. Однако в
случае, когда векторы ускорения и скорости параллельны или
перпендикулярны друг к другу, сила F будет параллельна ускорению (см.
задачи в конце этой главы). Коэффициенты пропорциональности будут в этих
специальных случаях иметь следующий вид:
т 1
тг =
(1_ра)а/. т
mt = - г-.
(1-Р)*'*
(6.47)
Они известны как продольная и поперечная массы. Следует, однако,
заметить, что "массы" тг, тг и mt употребляются в последнее время всё
реже и реже, так как они делают менее ясным ковари-антный характер
законов механики и скорее затемняют, нежели раскрывают физическую
сущность этого понятия.
§ 6.5. Релятивистские уравнения Лагранжа. Теперь, когда нами получено
релятивистское обобщение уравнения Ньютона, мы можем перейти к вопросу о
релятивистских уравнениях Лагранжа. В некотором отношении это сделать
легко, так как нетрудно образовать лагранжиан, приводящий к правильным
релятивистским уравнениям движения. Правда, на этот раз трудно получить
уравнения
§ 6.5]
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
227
Лагранжа, исходя только из принципа Даламбера, как это было сделано в
главе 1. Дело в том, что хотя равенство
2(/=f- А)-8"Ч = 0 (1.42)
г
справедливо не только в классической механике, но и в релятивистской,
однако все преобразования, проделанные в главе 1, будут теперь неверны,
так как pt не равно mv^
Можно также исходить из принципа Гамильтона (§ 2.1), т. е. из равенства
^2
87= 8 J 7.<77 = 0. (6.48)
t,
Тогда задачу получения лагранжиана можно будет рассматривать
как задачу об отыскании такой функции L, для которой уравнения Эйлера-
Лагранжа совпадают с известными релятивистскими уравнениями движения.
Функцию, удовлетворяющую этим требованиям, обычно найти
нетрудно. Пусть, например, имеется одна материальная точка, находящаяся в
поле консервативной силы, не зависящей от скорости. В этом случае в
качестве релятивистского лагранжиана L можно взять функцию
L = - mc2V 1 - (З2 - V, (6.49)
где V - потенциал, зависящий только от положения точки. В этом можно
убедиться, составляя для L, написанного в форме (6.49), уравнение
Лагранжа
d_ tdL\ __ __
dt \dvj дх{ ~
dt
Вычислив для этой цели , получим
^._-7в=. (6.50)
*>, /1-Р
и, следовательно, соответствующие данному лагранжиану уравнения движения
будут иметь вид
я dv "
dt У 1 - ji2 дх{
что совпадает с (6.46). Заметим, что лагранжиан (6.49) не равен Т-V, хотя
его производная по скорости и равна количеству движения. Именно это
обстоятельство и делает соответствующие уравнения Лагранжа правильными,
позволяя принять для L выражение (6.49). Поэтому мы могли бы строить наши
рассуждения в обратном
228
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. 6
порядке, т. е., исходя из равенства (6.50), искать зависимость
лагранжиана от скорости.
Лагранжиан (6.49) легко распространить на систему, состоящую из многих
материальных точек. Кроме того, при этом можно перейти от декартовых
координат xt к обобщённым координатам qj. Обобщённые импульсы будут тогда
по-прежнему определяться равенством
dL
и поэтому импульсы, соответствующие циклическим координатам, будут
оставаться постоянными (так же, как и в нерелятивистской механике). Что
касается теоремы о сохранении энергии, то она здесь также будет иметь
место, но вывод её придётся несколько изменить. Вспомним, что в § 2.6
было показано, что если L не зависит явно от времени, то имеет место
равенство
^qjPj - L = H'
где Н - некоторая постоянная. Этот вывод будет, конечно, справедлив и
сейчас, так как, доказывая написанное равенство, мы исходили лишь из
общего вида уравнения Лагранжа и из соотношения = Однако дальнейшее наше
заключение, что Н есть дЬ
полная энергия, теперь нельзя будет получить так же, как раньше, ибо L
более уже не будет равно Т - V, а 2 4jPj не будет равно 27. Заключение
это, тем не менее, остаётся в силе, в чём можно убедиться, рассматривая
пример с одной материальной точкой, где Н равно
ж , mv2, г------
Н= У -J=A-mc2V 1-32 + V,
гА1 - 62 1 г 1
i
что после небольшого преобразования можно записать в виде
. ,^-1гу = Т-1гУ = Е.
Y1 -
Таким образом, мы видим, что Н по-прежнему равно полной энергии Е,
являющейся здесь постоянной движения.
Введение потенциалов, зависящих от скорости, также не представляет здесь
особых трудностей и может быть сделано в точности так же, как это было
сделано в § 1.5. Так, например, лагранжиан частицы, находящейся в
электромагнитном поле, будет теперь равен
L = - тс2 У 1 - З2 - q'-s ~ А ¦ v,
(6.51)
§ 6.6]
КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА ЛАГРАНЖИАНА
229
а соответствующий обобщённый импульс будет равен
Pi
(6.52)
Как мы видим, он не равен ти{, а отличается от него слагаемым,
возникающим от той части потенциала, которая зависит от скорости. Этот
результат не является, конечно, следствием релятивистских уравнений, так
как тот же дополнительный член был нами получен и раньше [см. равенство
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed