Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
определяющую некоторое событие, происходящее в данный момент t в данной
точке г. Короче можно сказать, что точка пространства Минковского
описывает событие. Поэтому полученный результат можно сформулировать
следующим
§ 6.3] КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ 219
образом: если расстояние между двумя событиями является пространственно-
подобным, то можно найти такую систему Лоренца, в которой эти события
происходят одновременно.
Одним из примеров 4-вектора может служить так называемый
вектор 4-скорости. Он по определению равен
а, = ^г. (6.23)
где х.,- 4-вектор данной материальной точки, а т - её собственное время.
Пространственная и временная составляющие вектора u,t равны:
V,- 1с _ ..
ui = --------- и и,--у^=. (6.24)
1 Y1 - р2 4 )Л-р2 7
Величина 4-скорости является постоянной, так как сумма ичач равна
= - r4|F = -c2- (6-25>
Отсюда видно, что вектор также является временно-подобным.
В качестве иллюстрации ковариантной четырёхмерной формулировки
физического закона рассмотрим волновое уравнение
<6-26>
где ф-некоторый скаляр. Введём теперь по аналогии с трёхкомпонентным
оператором V четырёхкомпонентный дифференциальный оператор ?, понимая под
ним векторный оператор, составляющие которого равны
А А А А
дхх' дхг' дх-л' дхА'
Легко показать, что вектор ? преобразуется по правилам
преобразования 4-векторов. Действительно, согласно правилам
дифференци-
рования частная производная по преобразованной координате х\
г1
равна
A^VAlA. (6.27)
дх* ~дх*дх*
Но на основании формул обратного преобразования (от х^ к имеем
^ = 2
Н-
Следовательно,
дхч
220
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. б
и поэтому формула (6.27) принимает вид
что совпадает с формулой для преобразования составляющих 4-вектора.
Скалярное произведение вектора ? на самого себя мы будем обозначать через
[J2. Это есть так называемый оператор Далам-бера. Из предыдущего следует,
что он является инвариантным скалярным оператором. В развёрнутой форме он
имеет вид
Сравнивая теперь полученное выражение с левой частью уравнения (6.26), мы
видим, что это уравнение можно записать в виде
Отсюда следует, что если ф есть истинный скаляр пространства Минковского,
то волновое уравнение (6.26) будет инвариантно относительно
преобразований Лоренца.
§ 6.4. Уравнение движения и уравнение энергии в релятивистской механике.
Мы видели, что уравнения движения Ньютона Являются инвариантными
относительно преобразования Галилея, но не являются инвариантными
относительно преобразований Лоренца. Поэтому их нужно соответствующим
образом обобщить и получить закон, удовлетворяющий принципу
эквивалентности. Конечно, это обобщение должно быть таким, чтобы при
скоростях, малых по сравнению с с, новые уравнения переходили в обычные
уравнения Ньютона
Пространственные составляющие 4-вектора образуют некоторый вектор
трёхмерного пространства, так как преобразование Лоренца с коэффициентами
a4i = au = 0, a4i = 1 есть обычный пространственный поворот, влияющий
только на пространственные составляющие 4-вектора. Обратное утверждение
будет, однако, неверным: составляющие вектора трёхмерного пространства не
обязательно преобразуются как пространственные составляющие 4-вектора.
Составляющие обычного вектора можно умножить на любую функцию [3, не
изменяя характера их преобразования при пространственном повороте. Но при
этом существенно меняется характер того преобразования, которому
подвергаются эти составляющие при преобразовании Лоренца. Так, например,
пространственные составляющие 4-скорости и,, образуют вектор <о1У 1 -?2>
однако сам век-
П2 __ V d2 _ д3 I д2 I д* 1 д2
U ~ 2idx2 - дх* ду* дг* с2 дР '
? 2ф = 0.
(6.28)
(6.29)
§ 6.4]
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
221
тор v не является частью 4-вектора, так как для этого его нужно разделить
на У1-J32.
Уравнение (6.29) не является инвариантным относительно преобразований
Лоренца. Однако можно ожидать, что его релятивистским обобщением будет
такое 4-векторное уравнение, пространственная часть которого сведётся к
(6.29) при ]3->0. Мы сейчас увидим, что 4-векторное обобщение левой части
этого уравнения получить нетрудно. Единственным 4-вектором,
пространственная часть которого сводится при f)->0 к v, является вектор
4-ско-рости иг Кроме того, массу т можно считать некоторой инвариантной
величиной, характеризующей данную материальную точку, а время t хотя и не
является инвариантом Лоренца, однако его можно, очевидно, заменить на
собственное время которое стремится к t при [3 ->0. Поэтому искомое
обобщение уравнения Ньютона должно иметь вид
¦?(шО = *,. (6.30)
где К, - некоторый 4-вектор, известный как сила Минковского.
Не следует думать, что пространственные составляющие 4-вектора К., можно
отождествить с составляющими обычной силы. Единственное, что здесь
требуется уравнением (6.29),-это то, чтобы при В -> 0 составляющие
стремились к составляющим F4. Так, например, К{ может равняться
произведению на некоторую функцию от стремящуюся к единице при >-0.
