Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
четырёхмерной форме', все члены уравнения, выражающего этот закон, должны
быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет
требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать
ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в
четырёхмерном пространстве) членов равенства, выражающего физический
закон, даёт нам критерий для решения вопроса о релятивистской
правильности этого закона.
Важным примером 4-вектора является вектор, определяющий положение точки в
пространстве Минковского. Составляющие этого вектора равны xv х2, х3, х4,
и во избежание путаницы с обычными векторами мы для обозначения 4-вектора
будем пользоваться только одной из его составляющих; поэтому символ xtl
будет означать у нас вектор, составляющие которого равны х4, х2, х3, х4.
Кроме того, мы часто будем пользоваться следующим условным способом для
обозначения суммирования: если в каком-нибудь члене будут встречаться
одинаково обозначенные индексы, то это будет означать, что указанный член
суммируется по всем значениям этого индекса (даже если знак суммы
отсутствует). Например, символ xIJlx.x мы будем употреблять для суммы
А=1 '
Когда материальная точка движется в обычном трёхмерном пространстве, то
соответствующая ей точка в пространстве Минковского описывает траекторию,
известную под названием мировой
§ 6.3]
КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
217
линии. 4-вектор dx, очевидно, есть вектор бесконечно малого перемещения
вдоль этой линии. Умножив вектор dxt> скалярно на самого-себя и разделив
полученное число на -с2, мы можем образовать мировой скаляр (и,
следовательно, инвариант Лоренца). Обозначив его через dx2, будем иметь
(*)2 = -v (dx:)2. (6.21)
( ~ jmm
а
Физический смысл величины dx станет ясным, если вычислить сумму (6.21) в
системе, относительно которой рассматриваемая точка в данный момент
неподвижна. В этой системе мы будем иметь дело с преобразованным вектором
dx', составляющие которого равны (О, 0, 0, icdt'). Следовательно,
инвариант dx2 равен
<*>'=-iS ("<)'" ('"')¦•
fj.
Таким образом, dx есть интервал времени, измеренный по часам, движущимся
вместе с рассматриваемой точкой *); поэтому его можно назвать собственным
временем этой материальной точки.
Связь между dx и интервалом времени в данной системе Лоренца можно
получить, раскрывая равенство (6.21). Проделав это, будем иметь
(dxy=-1 i(dxy+{dyf+{dzf-c2 оdm,
или
что эквивалентно равенству
. ^ - = dt. (6.22)
Y1 - в2
Равенство (6.22) вытекает также и из формулы (6.19), если dx
интерпретировать как интервал времени, измеряемый по часам, связанным с
точкой, a dt - как соответствующий интервал, измеряемый наблюдателем,
движущимся относительно этой точки.
Так как одна из составляющих 4-вектора является мнимой, то-квадрат его не
обязательно будет числом положительным. Те 4-векторы, квадраты которых
неотрицательны, называются пространственно-подобными, а те, квадраты
которых имеют отрицательную величину, называются временно-подобными
векторами. Заметим, что принадлежность вектора к тому или иному из этих
классов сохраняется при любом преобразовании Лоренца, так как величина
*) Под dx мы понимаем положительный корень из правой части (6.21).
218
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
вектора является мировым скаляром. Названия пространственно-подобный и
временно-подобный связаны с тем, что квадрат обычного вектора трёхмерного
пространства является величиной положительной. Кроме того,
пространственно-подобный 4-вектор всегда можно так преобразовать, чтобы
его четвёртая составляющая обратилась в нуль.
Разность векторов, определяющих две точки пространства Минковского, может
быть либо пространственно-подобной, либо временно-подобной. Обозначая эту
разность через Х^, будем иметь:
= Xl-i хгу
тде индексы 1 и 2 обозначают первую и вторую из рассматриваемых точек. Но
величина вектора Ха равна
Х^ = \Г1-,r2J2-C2(fi_4)2.
Следовательно, вектор Хх будет пространственно-подобным, если
ki- r2\2>c2(tl - к>2'
и временно-подобным, если
к,-г2 !*<<*&-
Отсюда видно, что если вектор Х^ является временно-подобным, то
рассматриваемые точки пространства Минковского можно соединить световым
сигналом; если же он является пространственно-подобным вектором, то их
нельзя связать волной, распространяющейся со скоростью с.
Выберем оси х1х2х3 таким образом, чтобы разность гг - г2 была направлена
вдоль оси х3. Тогда |гх-г2\ будет равно zt-z2. Рассмотрим теперь
преобразование Лоренца, соответствующее скорости v, направленной вдоль
оси г. Четвёртая составляющая вектора Х^ будет яри этом преобразовываться
согласно равенству
= Trkfr---------------
¦[см. последнее уравнение (6.17)]. Отсюда видно, что если вектор Х.х
является] пространственно-подобным и, следовательно,
cVi - t2) < zx - z2,
то можно найти такую скорость v < с, что ic(t[-4) = Ад будет равно нулю
(как указывалось выше). Этот результат можно интерпретировать следующим
образом. Точку пространства Минковского можно рассматривать как
