Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
У1 - Р2 У1 - ра
(6.15)
Заметим, что в её составе содержится матрица, имеющая вид
I cos о sin ср
| - sin ср cos ср
т. е. являющаяся матрицей поворота в плоскости х3х4. Однако угол этого
поворота является мнимым, так как здесь
1
cos св ¦
Vi-
ce л 6)
и, следовательно, больше единицы.
*) Радикал, фигурирующий в коэффициентах а44 и "33, мы берём со знаком
плюс. Это сделано для того, чтобы при рО матрица (6.15) переходила в
единичную матрицу. Нас интересует только получение собственных
преобразований Лоренца с детерминантом -|- 1.
212
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. G
Формулы преобразования Лоренца можно записать также в виде:
Что касается обратного преобразования, т. е. перехода от х' к а^, то оно
может быть получено посредством простого транспонирования матрицы (6.15).
Из вида этой матрицы следует, что формулы обратного преобразования будут
отличаться от формулы (6.17) только знаком скорости v. Этот результат
следовало ожидать, исходя из чисто физических соображений, ибо скорость,
с которой система хгх2х3 движется относительно системы х'х^х'3, равна-V.
Если исходить из обычных представлений, то наиболее парадоксальной должна
казаться та формула (6.17), которая описывает связь между t и t'.
Действительно, согласно этой формуле два события, происшедшие
одновременно в двух различных точках пространства, в системе х1хгх3 будут
казаться наблюдателю, находящемуся в системе x'x'x't неодновременными,
что объясняется присутствием члена vzjc2 в последней формуле (6.17). В
задачи нашей книги не входит рассмотрение физического существа этого, а
также других кажущихся парадоксов преобразования Лоренца *), однако два
известных следствия этого преобразования мы считаем нужным отметить: это
уменьшение длины (эффект Лоренца - Фицджеральда) и увеличение масштаба
времени.
Рассмотрим твёрдый стержень, находящийся в покое в системе xyz и
расположенный вдоль её оси z. Пусть длина этого стержня будет равна I =
z2-zv Если движущийся наблюдатель пожелает измерить длину этого стержня,
то он станет определять в системе х'y'z' координаты его концов, т. е.
величины z' и z' в момент t'. Но согласно формулам обратного
преобразования
X - X,
у =у,
(6.17)
У1 - №
и
г2 + vt'
2, = ¦ Г ¦
*) См. P. Bergman n, An Introduction to the Theory of Relativity, 1912,
Нью-Йорк (имеется русский перевод: Бергман П., Введение в теорию
относительности, ИЛ, 1947) и цитированную на стр. 209 книгу Р. Беккера.
§ 6.2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
213
Следовательно, кажущаяся длина этого стержня будет равна
z2 - z[=lY\ - ?2. (6.18)
Таким образом, движущемуся наблюдателю стержень будет казаться
укороченным в отношении 1 : ф^1-132. Этот результат составляет содержание
известной гипотезы Лоренца-Фицджеральда о "сжатии". Заметим, что при
выводе формулы (6.18) было бы неудобно пользоваться непосредственно
уравнениями (6.17), так как, хотя движущийся наблюдатель измеряет
координаты концов стержня в один и тот же момент t', однако в системе xyz
эти измерения нельзя считать производящимися одновременно, так как
величины zt и д2 различны.
Предположим теперь, что в системе xyz находятся часы, расположенные в
точке zx и показывающие время tx. Наблюдатель, связанный с подвижной
системой, зафиксирует в этот момент время
t'i
а в момент t2
ts
Поэтому кажущийся промежуток времени будет равен
(6.19)
У 1 -
Следовательно, когда стрелка неподвижных часов передвинется на один час,
с точки зрения движущегося наблюдателя пройдёт время
¦ - 1 - часов. Поэтому он скажет, что неподвижные часы отстают,
у \ - р
т. е. что они теряют время. Таким образом, это явление можно
характеризовать как "растяжение времени". Следует, однако, подчеркнуть,
что наблюдатель, находящийся в системе xyz, тоже будет считать, что часы,
связанные с системой x'y'z', отстают от его часов. Точно такая же картина
имеет место и для эффекта Лоренца в отношении сокращения длины:
наблюдатель, находящийся в системе xyz, тоже будет наблюдать сжатие
(6.18) предметов, неподвижных относительно системы x'y'z'. Таким образом,
ни одну из рассмотренных систем мы не можем считать неподвижной и
противопоставлять её другой системе - движение является относительным и
все (равномерно движущиеся) системы совершенно эквивалентны.
Из преобразования Лоренца следует также, что невозможна относительная
скорость больше с. В самом деле, если бы тело имело такую скорость
относительно некоторой системы, то посредством
,У?!
с2
YT-
^9.---
- р-
с2
214
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
соответствующего преобразования Лоренца можно было бы перейти к другой
системе, в которой это тело неподвижно. Но при 3 > 1 преобразование
Лоренца не приводит к вещественным значениям координат. Следовательно,
скорости, большие скорости света, не могут иметь места.
Может показаться, что скорость, большую скорости света с, можно получить
с помощью двух последовательных преобразований Лоренца. Пусть, например,
