Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
(6-8)
11=1 г 11=1 г
Это равенство показывает, что искомое преобразование можно мыслить как
вращение в четырёхмерном пространстве, три измерения которого являются
измерениями обычного пространства, а четвёртое является мнимым и
пропорционально времени t. Это пространство
§ 6.2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
209
известно как пространство Минковского. Следовательно, преобразование
Лоренца является ортогональным преобразованием пространства Минковского.
Поэтому весь математический аппарат главы 4, относящийся к ортогональным
преобразованиям пространства, можно применить и к преобразованию Лоренца.
Допустим, что мы переходим от одной системы координат к другой,
покоящейся относительно первой, но повёрнутой относительно неё. Ясно, что
преобразование, описывающее этот переход, также является преобразованием
Лоренца. Чисто лоренцовым мы будем называть такое преобразование Лоренца,
которое не содержит пространственного вращения, а связывает две
равномерно движущиеся друг относительно друга системы, оси которых
параллельны. Ясно без специального доказательства *), что любое
преобразование Лоренца есть произведение пространственного вращения на
чисто лорен-цово преобразование. Поэтому достаточно рассмотреть только
чисто лоренцово преобразование, причём относительную скорость
рассматриваемых систем можно, не уменьшая общности, считать направленной
вдоль оси х3 (так как этого всегда можно добиться с помощью
соответствующего поворота координатных осей). Рассмотрим матрицу этого
преобразования и обозначим её элементы через " , **). Тогда будем иметь:
4
*'=2 а* А- (6-9)
r V = 1 '
Элементы а^ должны, конечно, удовлетворять таким же условиям
ортогональности, какие мы имели для пространственных поворотов [см.
уравнение (4.37)]. Поэтому можно написать:
2"p,'flb = V (6Л0)
Однако в отличие от обычного ортогонального преобразования пространства
теперь не все эти элементы являются вещественными. Действительно, так как
координаты х'х'2х'3 должны быть вещественными, то элементы ai4 (г = 1, 2,
3) должны, очевидно, быть мни-пыми. Кроме того, так как х' должно быть
мнимым, то ясно, что элементы a4i должны также иметь мнимые значения,
тогда как элемент аи, очевидно, должен быть вещественным.
В направлениях, перпендикулярных к движению, преобразование, очевидно,
ничего не меняет, и поэтому можно написать:
x[ - xv х'г = хг.
*) См. R. Becker, Theorie der Elektriziiat, т. II, 6-е изд., Лейпциг,
1933, стр. 287.
**) Греческие буквы р., ч, к и т. д. мы будем применять для обозначения
индексов, пробегающих значения от 1 до 4, а латинские буквы I, j, k и т.
д. - для индексов, изменяющихся от 1 до 3. Такие обозначения стали сейчас
общепринятыми.
210
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
Вследствие этого при рассматриваемом преобразовании будут изменяться
только координаты xs и х4. Кроме того, ясно, что ни координата х', ни
координата х' не будут зависеть от координат xt и х2, в чём можно
убедиться с помощью следующих общих соображений. Ни одна из точек
плоскости хгх2 не является привилегированной, и поэтому нет физических
соображений, заставляющих какую-либо одну из них обязательно считать
началом координат. Поэтому начало координат можно перенести в любую точку
плоскости х4х2, не изменяя при этом величин х3 и х'. Но так как такой
перенос изменит значения величин х4 и х2, то эти координаты не могут
входить в уравнения, определяющие х'3 и je'. На основании всего
сказанного мы приходим к выводу, что матрицу чисто лоренцова
преобразования можно записать в виде
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 азз й34
0 0 а43 й44
Поэтому мы будем иметь следующие три условия ортогональности, связывающих
четыре элемента матрицы:
а
ао,а
33 43 '
33 I 34
!в+^4=1' f" а34аЫ - 0-
(6.11)
Для того чтобы однозначно определить эти элементы, необходимо иметь
четвёртое условие. Оно может быть получено из того факта, что начало
координат системы х[х'2х'3 (х'3 = 0) движется вдоль оси х3 таким образом,
что в момент t его координата х3 равна
х3 = vt = - i$x4,
где
(6.12)
3=^.
Учитывая это, мы можем написать следующее равенство, определяющее начало
системы х'аг'а:':
< = xAa3i - ^азз) = °-
Отсюда получаем
а34 = г?й33'
и поэтому первое из условий ортогональности (6.11) можно будет записать в
виде
а!зО-Р2)=1-
§ 6.2]
Следовательно, и поэтому
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
/Г
а-.
'Р
Vl-p2'
211
(6.13)
(6.14) - мни-
Заметим, что число as:s является вещественным, а число а мым, что
согласуется с требованием вещественности преобразованных пространственных
координат.
Два остальных элемента матрицы могут быть найдены посредством решения
второго и третьего уравнений (6.11) относительно а43 и а44. Последнее из
этих уравнений даёт
" " ам .
азз
Подставив этот результат во второе уравнение (6.11), найдём
1
/1 - Р2 '
и следовательно,
43 '
У 1 - 62
Таким образом, матрица преобразования Лоренца имеет вид *)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 /В
у 1-ра У1 - Р2
0 0 - *Р 1
