Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
затем суммирование по всем значениям /, получим
2 (г* X Pi) = 2 -Jr (Г, X Pi) = L = 21 X ^ + S r'X^i- (1-22)
i г U 3
Согласно закону о равенстве действия и противодействия последний член
этого равенства можно рассматривать как сумму членов вида
rt X Рц + п X Рц = (*Ч- rj) X fy. (1.23)
Но разность - rj есть вектор Гц, идущий от точки j к точке I,
и согласно закону о равенстве действия и противодействия
ra X Рц = о-
так как вектор Fjt направлен вдоль линии,, соединяющей j-ю точку с f-й.
Следовательно, сумма 2 r% X Pji равна ну-
i
лю, и уравнение (1.22) можно записать в виде
~df==^ ' (1.24) рис< з вектор Гц - ri - г,.
Таким образом, производная по времени от кинетического момента равна
полному моменту внешних сил относительно данной точки. В соответствии с
уравнением (1.24) имеем следующую теорему.
Теорема о сохранении кинетического момента системы. Если полный момент
внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор L остаётся
неизменным во времени. (Следует подчеркнуть, что эта теорема является
векторной теоремой, и поэтому, если, например, N(ze> равно нулю, то Lx
будет неизменным при любых N{^ и Ny\ даже отличных от нуля.)
Заметим, что теорема о сохранении кинетического момента системы
справедлива лишь при выполнении закона о равенстве действия и
противодействия. В системах с движущимися заряженными частицами этот
закон не выполняется, и полный кинетический момент в механическом смысле
этого слова не остаётся там постоянным, но остаётся постоянной сумма
механического кинетического момента и электромагнитного "кинетического
момента".
Из равенств (1.20) и (1.21) следует, что количество движения системы
можно рассматривать как количество движения её центра масс, если считать,
что в нём сосредоточена вся масса системы. Для кинетического момента
аналогичная теорема формулируется более сложно. Кинетический момент
системы относительно начала координат О равен
L = 2 ri X Pi
20
ОВВОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[ГЯ. 1
Пусть R будет радиус-вектор, идущий из точки О в центр масс системы, а г\
- радиус-вектор, идущий из центра масс в /-ю точку.
Тогда будем иметь (рис. 4)
- скорость г-й материальной точки относительно центра Масс системы*). С
помощью уравнения (1.25) кинетический момент можно представить в виде
Два последних члена в этом выражении обращаются в нуль, так как они
содержат сумму которая определяет радиус-вектор
центра масс в системе координат, начало которой совпадает с этим центром.
Переписывая остальные члены, получаем полный кинетический момент системы
в виде *
Равенство (1.26) показывает, что кинетический момент системы относительно
точки О складывается из двух частей: из кинетического момента этой
системы в предположении, что вся её масса сосредоточена в центре масс, и
из кинетического момента, возникающего вследствие движения этой системы
относительно центра масс. Из равенства (1.26) ясно видно, что в общем
случае вектор L зависит от выбора точки О, так как правая часть равенства
(1.26) выражается через R. Только в случае, когда центр масс неподвижен
относительно точки О, кинетический момент L не зависит от выбора этой
точки. В этом случае первый член в равенстве (1.26) обращается в нуль, и
вектор L сводится к кинетическому моменту системы относительно её центра
масс.
(
, Центр масс
где вектор
и
/7
Рис. 4. Векторы R, .! г^.
есть скорость центра масс, а вектор
г
г
Ъ
(1.26)
*) Автор здесь (и в ряде подобных случаев) имеет в виду скорость точки
относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром
масс. {Прим. перее.)
§ 1,2] МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 21
рассмотрим теперь уравнение энергии. Как и в случае одной
материальной точки, вычислим работу, совершаемую всеми силами,
действующими на рассматриваемую систему. Обозначив начальное положение
этой системы индексом 1, а конечное - индексом 2, получим
2 2 2
^2= 2 Г Fi • dst = 2 ГF'f • dSi+ 2 ГFjt • ds, (1.27)
1 j i J * it; J
и, воспользовавшись уравнениями движения, будем, как и ранее, иметь
2 2 2
г I il 1
Следовательно, совершённая работа равна разности между конечной и
начальной кинетической энергией, что можно записать в виде равенства
^12 = 7'2-Г1, где Т-полная кинетическая энергия системы, равная
т = (L28>
i
Вводя в формулу (1.28) координаты центра масс системы, мы согласно
формуле (1.25) получаем
7=j 2 mi (v+о • (*+о=
и, рассуждая так же, как при вычислении кинетического момента, приходим к
выводу, что последний член этой суммы равен нулю. Следовательно,
(1.29)
г
Таким образом, кинетическая энергия системы, подобно кинетическому
моменту, складывается из двух частей: из кинетической энер-
гии-g- , получающейся в предположении, что вся масса системы
сосредоточена в её центре масс, и из кинетической энергии системы в ее
движении относительно центра масс.
22
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[ГЛ. 1
Рассмотрим теперь правую часть равенства (1.27). В случае, когда внешние
силы имеют потенциал, первый член правой части
