Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
и так как ротация градиента всегда равна нулю, то вектор F должен быть
градиентом некоторого скаляра, т. е. должно иметь место равенство
F = - W. (1.15)
Величина V называется потенциалом или потенциальной энергией.
Существование функции V (х, у, г) может быть доказано без привлечения
теорем векторного анализа. В самом деле, если равенство (1.14)
выполняется, то работа W12 не зависит от пути, по которому совершается
интегрирование между точками I и 2. Но отсюда следует, что W12 можно
представить в виде разности f(x2, у2, z2) - - f(xi> Ух> zi)> гДе /-
некоторая величина, зависящая только от положения точки. Эту величину
можно обозначить через -V, и тогда для любого элемента длины ds будем
иметь
F ¦ ds = - V,
или
что эквивалентно равенству (1.15).
Заметим, что в равенстве (1.15) мы можем прибавить к V любую постоянную
(в пространстве) величину, не нарушая при этом справедливости
рассматриваемого равенства. Следовательно, нулевой уровень для функции V
может быть выбран произвольно.
Для консервативной системы работа Wl2 равна
^12 = ^1- V2. (1.16)
Подставляя теперь равенство (1.16) в (1.13), получаем соотношение
T2 + V2=>T2 + Vv (1.17)
выражающее следующую теорему.
I Ь2]
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
It
Теорема о сохранении энергии материальной точки. Если силы, действующие
на материальную точку, являются консервативными, то её полная энергия Т
~\~V остается неизменной.
§ 1.2. Механика системы материальных точек. Результаты, полученные в
предыдущем параграфе, можно обобщить на систему из многих материальных
точек, но при этом нужно различать внешние силы, и внутренние силы. Под
внешними мы будем понимать такие силы, которые действуют на материальные
точки рассматриваемой системы извне, а под внутренними - такие силы, с
которыми каждая материальная точка этой системы действует на все
остальные точки той же системы. Тогда уравнение движения /-й материальной
точки (второй закон Ньютона) примет вид:
Sfy+ /*/>=" А, (1.18)
где через F^ обозначена внешняя сила, действующая на t-ю точку системы, а
через - сила, с которой у-я точка действует на 1-ю (сила Fu, конечно,
равна нулю). Мы будем предполагать, что силы Fy (так же, как и F[e))
подчиняются третьему закону Ньютона, т. е. закону о равенстве действия и
противодействия, согласно которому силы взаимодействия двух материальных
точек равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль
прямой, их соединяющей. Следует заметить, что в некоторых важных случаях
этот закон несправедлив, например, для электромагнитных сил
взаимодействия между движущимися частицами. Поэтому, применяя к таким
системам теоремы, которые мы выведем ниже, следует проявлять
осторожность.
Написав равенства (1.18) для всех точек и сложив их, получим
(1лэ)
i i г> j
Первая сумма правой части этого равенства представляет собой суммарную
силу F'e\ действующую на рассматриваемую систему, а вторая сумма
обращается в нуль, так как согласно закону о равенстве действия и
противодействия каждая сумма Fij-\~F^ равна нулю. Преобразуем теперь
левую часть этого уравнения, вводя средний радиус-вектор R
рассматриваемой системы, полученный с учётом масс её точек (среднее
взвешенное вектора г{):
18
ОвЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ
[ГЛ. 1
Этот вектор определяет точку, называемую центром масс системы (рис. 2)*).
Вводя вектор R в уравнение (1.19), получаем
ж5г=5/7^)=/?(е)- (1-21)
г
Отсюда видно, что центр масс движется так, как будто в нёц сосредоточена
масса всей системы и к нему приложена суммарная внешняя сила F(е),
действующая на систему. Следовательно, внутренние силы никакого влияния
на движение центра масс не оказывают. Примером, который в связи с этим
часто приводится, может служить движение снаряда, разорвавшегося в
воздухе: центр масс его осколков движется так, как будто снаряд
продолжает двигаться неразорвавшимся (если пренебречь сопротивлением
воздуха). Этот же закон лежит в основе реактивного движения: для того
чтобы движение центра масс оставалось неизменным, истечение газов
(происходящее с большой скоростью) должно сопровождаться движением ракеты
в сторону, противоположную истечению, т. е. вперёд.
Согласно формуле (1.20) полное количество движения системы
P=lUm'lU
равно массе всей системы, умноженной на скорость её центра масс. Поэтому
из уравнения движения центра масс [уравнение (1.21)] мы получаем
следующую теорему.
Теорема о сохранении количества движения материальной системы. Если сумма
внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то полное количество
движения системы остается неизменным.
Под полным кинетическим моментом системы мы будем понимать сумму 2riXA-
Умножив уравнение (1.18) на ri и произведя
*) Это определение будет более обычным, если равенство (1.20) записать в
декартовых координатах:
2 mixi у 2 т1У< ^ 2 mizi
2 mt ' "2 mi' ~ 2"Х '
где X, Y, Z - координаты центра масс.
Рис. 2. Центр масс системы материальных точек.
§ 1'.21 МЕХАНИКА. СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1§
