Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
точки. Поэтому из уравнения (4.100) будем иметь
? = 2"4(''i х щ),
(5.1)
i
Vi = ft) X rlt
(5.2)
*) В однородном гравитационном поле центр тяжести, конечно, совпа-дает с
центром масс.
§5.1) КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 1(13
и, следовательно, уравнение (5.1) запишется в виде
^. = 2^(^х("хго).
i
или, раскрывая двойное векторное произведение:
L = 2 mi{Mr2i - ri(ri • W)). (5.3)
i
Отсюда для составляющей кинетического момента по оси х получим Lx = тг (о
Xi) (5.4)
г i i
Составляющие вектора L по двум другим осям будут иметь аналогичный вид.
Таким образом, каждая из составляющих кинетического момента является
линейной функцией составляющих угловой скорости. Следовательно, вектор
кинетического момента получается из угловой скорости посредством
линейного преобразования. Чтобы подчеркнуть аналогию между равенством
(5.4) и уравнениями линейного преобразования (4.12), мы запишем Lx в виде
Lx = ^ХХШХ 4'г/Ш2/ > (5 • 5)
и аналогично для Ly и Lz:
Ly = 1ухшх Н~ 1уушу fyzwz> )
7-г ~ ^гхшх ^гушу "i- ^ггшг- J
Девять коэффициентов 1ХХ, 1ху и т. д. являются элементами матрицы
преобразования. Диагональные элементы её известны под названием осевых
моментов инерции', они имеют вид
= - х\). (5.6)
г
Остальные элементы этой матрицы называются центробежными моментами
инерции', они выражаются равенствами вида
^ху=== (5.7)
г
В формулах (5.6) и (5.7) элементы матрицы записаны так, будто твёрдое
тело является совокупностью дискретных частиц. Для непрерывных тел это
суммирование заменяется объёмным интегрированием, и вместо массы частицы
нужно писать плотность. Так, например, диагональный элемент 1ХХ примет
тогда вид
/жж = /р(г)(г2 - x*)dV. (5.6')
у
До сих пор мы не указывали, какая координатная система применялась нами
при вычислении составляющих вектора L. Теперь
164
М'АВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(гл. 5
в качестве такой системы нам будет удобно взять систему, связанную с
телом *). Расстояния xit yit zi не будут тогда изменяться со временем, и
поэтому элементы матрицы будут постоянными величинами, характеризующими
данное тело и зависящими от положения осей х, у, z в теле.
Уравнения (5.5), связывающие составляющие L с составляющими о), можно
заменить одним операторным уравнением, имеющим вид
?=/е), (5.8)
где через / обозначен оператор, матрица которого имеет в качестве своих
элементов моменты инерции (5.5). Из двух интерпретаций, которые мы давали
ранее оператору линейного преобразования (см. § 4.2), здесь под /
следует, очевидно, понимать оператор, действующий на вектор to, а не на
координатную систему, так как векторы L и в) суть два вектора различной
физической природы и разной размерности, а не один и тот же вектор,
выраженный в двух различных системах координат. В отличие от оператора
вращения оператор I является размерным: его размерность равна [масса X
(длина)2]. Кроме того, он не связан условиями ортогональности. Таким
образом, уравнение (5.8) выражает тот факт, что оператор /, действуя на
вектор ft), даёт в результате физически новый вектор L. Хотя мы в полной
мере используем аппарат матричной алгебры, развитый нами при изучении
операторов вращения, однако основное внимание мы здесь будем уделять
природе и физическому характеру рассматриваемых операторов.
§ 5,2. Тензоры и диады. Так как ?, = /&), то / можно рассматривать как
частное от деления L на ем
Однако известно, что отношение двух величин часто не является величиной
того класса, к которому принадлежат рассматриваемые величины, а может
принадлежать к более сложному классу. Так, например, частное от деления
двух целых чисел, вообще говоря, не является целым числом, а является
числом рациональным. Точно так же частное от деления двух векторов
нельзя, как известно, определить таким образом, чтобы оно принадлежало к
классу векторов. Не удивительно поэтому, что / является величиной нового
типа, а именно тензором второго ранга.
В трёхмерном пространстве тензор Т А/'-го ранга мы будем определять как
величину, имеющую Злт составляющих Тщ. ¦ . (всего
*) В главе 4 такая система обозначалась ^штрихами. Так как в дальнейшем
составляющие по неподвижным осям будут встречаться у нас редко, то для
простоты обозначений мы будем штрихи опускать.
§ 5.2]
ТЕНЗОРЫ И ДИАДЫ
165
N индексов), которая при ортогональном преобразовании координат
преобразуется матрицей А согласно следующей схеме *):
Tijk . .. 2 (r)il@jm(r)kn ' • • T'lmn. , . (5-9)
h m, n
При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну
составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования.
Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. Тензор первого
ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству
Т г - 2 aijTj' j
Сравнение этого равенства с уравнениями преобразования векторов [см.
(4.14)] показывает, что тензор первого ранга эквивалентен вектору.
Наконец, девять составляющих тензора второго ранга преобразуются по схеме
Tij - а^а^Ты. (5.10)
