Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
<ож = 0 cos 9 -f- ф sin 0 sin 9, и у = 0 sin 9 - ф sin 0 cos 9, ю3 = 6
cos 0 -j- 9.
6. Шар имеет возможность двигаться по плоскости без скольжения. Выразите
условия, накладываемые этой связью, через углы Эйлера. Покажите, что эти
условия неинтегрируемы и, следовательно, связь неголономна.
7. Покажите, что комплексные собственные значения ортогональной матрицы,
описывающей собственное вращение, равны е+ гФ, где Ф - угол поворота.
8. Докажите, что угол поворота Ф выражается через углы Эйлера следующим
образом:
Ф ю 4- <Ь О
COS -g- = COS COS g-.
9. Покажите, что три спиновые матрицы Паули антикоммутативны друг
относительно друга, т. е. что имеют место равенства
afij = -ajat
Покажите, кроме того, что
- ар{ = 2tj}i (l, j, k - в циклическом порядке)
и что of = 1 при всех I.
10. Покажите, что Оц можно символически записать в следующем виде:
9
13---
0.ь = е х 2,
где правая часть написанного равенства рассматривается как степенной ряд,
первый член которого равен единичной матрице 1.
11. Снаряд вылетает в горизонтальном направлении и летит вдоль
поверхности Земли. Покажите, что в результате действия силы Кориолиса
вектор его скорости будет отклоняться от первоначального направления,
причём угол этого отклонения будет в первом приближении пропорционален
времени. Докажите, что коэффициент этой пропорциональности равен
ш cos 0,
где ш - угловая скорость вращения Земли, а 0 - широта, отсчитываемая от
полюса. (В Северном полушарии рассматриваемое отклонение направлено
вправо.)
12. В опыте Фуко маятник подвешивается на длинной нити и колебания его
происходят около точки, связанной с поверхностью вращающейся Земли.
Вектор его начального количества движения лежит в вертикальной плоскости,
проходящей через нить маятника. Показать, что его движение можно
представить как колебания в плоскости, равномерно вращающейся со
скоростью 2л cos 0 радиан в сутки, где 0 - широта, отсчитываемая от
полюса. Каково направление этого вращения? (Если нужно, то можно
колебания этого маятника приближённо считать малыми.)
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛН ГЕРАТУРА
Рекомендуемая литература
Н. Marge паи п О. М. Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry.
По теории матриц имеется много подробных и полных книг, однако для наших
целей достаточна глава 10 указываемой книги, математическая часть которой
вполне соответствует вопросам, которые здесь были рассмотрены. В §§ 15.5
и 15.6 этой книги рассматриваются параметры Кэйли - Клейна и спиновые
матрицы Паули (хотя с применением сложных обозначений).
Н. Jeffreys и В. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics.
В этой книге охватывается в основном тот же материал, что и в книге
Маргенау и Мэрфи, однако здесь делается большее ударение на физических
приложениях. В главах 3 и 4 этой книги можно найти многие вопросы,
рассмотренные нами в настоящей главе, включая спиновые матрицы Паули и их
связь с трёхмерными матрицами вращения. Раздел, посвящённый углам Эйлера,
изложен в этой книге непонятно, главным образом вследствие плохих
рисунков.
М. В б с h е г, Introduction to Higher Algebra.
Эта книга является одним из старых стандартных учебников, и она особенно
полезна при изучении теории детерминантов, условий независимости систем
уравнений и метода решения линейных независимых уравнений.
R. Сои rant и D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik *),
т. I.
Эта книга в [течение долгого времени являлась классическим введением в
математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной
"Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм" очень хорошо и ясно
изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а
также многие другие относящиеся сюда вопросы. В Приложении к главе 1
кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования.
Н. О. Newboult, Analytical Method in Dynamics.
Применение алгебры матриц для систематического изучения пространственных
вращений редко встречается в учебниках по классической механике (хотя оно
стало обычным в квантовой механике). Однако в главе II этой небольшой
книги кинематика твёрдого тела изучается с помощью матриц. В частности,
матрица вращения выражается здесь через углы Эйлера с помощью умножения
матриц трёх элементарных поворотов. В главе III кратко изложен вопрос о
движении относительно подвижных осей.
L. В г i 11 о u i п, Les Tenseurs en Mecanique et en Elasticite.
Эта прекрасно написанная книга содержит много различных сведений по
целому ряду вопросов, начиная с дифференциальной геометрии и кончая
квантовой механикой твёрдых тел. Она является практически единственным
пособием по вопросу о псевдовеличинах, т. е. о таких величинах, которые
изменяются при отражении. Глава III этой книги полностью посвящена этому
вопросу.
Е. Т. Whittaker Analytical Dynamics.
Глава I этой книги содержит материал, связанный с вопросами,
рассмотренными нами в настоящей главе. Раздел об углах Эйлера
воспринимается с трудом из-за низкого качества всех рисунков. (Здесь
