Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
составляющие в другой системе нужно лишь после того, как будет выполнено
дифференцирование этого вектора.
Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их
производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с
о), следует рассматривать как совокупность трёх последовательных
бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями ш"=(r), о)9==0, Шф = ф.
Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых
поворотов мы можем считать о) суммой трёх отдельных векторов угловых
скоростей. К сожалению, векторы й)?, й)е, "Оф расположены несимметрично:
вектор направлен вдоль неподвижной оси z, вектор о)5 - вдоль линии узлов,
а о)ф - вдоль подвижной оси z', связанной с телом. Однако составляющие
этих векторов относительно любой системы координат можно получить с
помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. § 4.4).
При рассмотрении уравнений движения особенно удобна система осей,
связанных с движущимся телом. Поэтому мы получим составляющие вектора о)
именно в этой системе. Так как вектор параллелен неподвижной оси z, то
его составляющие по осям, связанным с телом, можно получить посредством
применения полного ортогонального преобразования А = BCD [формула
(4.46)]:
Что касается вектора о)6, то он идёт по линии узлов, являющейся осью
Поэтому составляющие вектора щ по осям, связанным с телом, могут быть
найдены посредством применения только одного ортогонального
преобразования В [формула (4.45)]:
(ft)^, = ср sin Osin ф, (Ы9)у, = ? sin 0 cos ф, (u>9)s, = tp cos 0.
("oXs- = 0 C0S My' ~ - 0 Sin ((r)0г. = 0.
152
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
Наконец, составляющие вектора о)ф вообще не требуют преобразования, так
как этот вектор направлен вдоль оси z'. Складывая соответствующие
составляющие отдельных угловых скоростей, мы получаем составляющие
полного вектора о) по осям, связанным с телом:
Тот же приём позволяет выразить через углы Эйлера и составляющие о) по
неподвижным осям,
§ 4.9. Сила Кориолиса. Равенство (4.102) является основным кинематическим
уравнением, служащим для получения динамических уравнений движения
твёрдого тела. Однако оно применимо не только к движению твёрдого тела,
но и к движению материальной точки или системы материальных точек во
вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода
является задача о движении материальной точки относительно системы,
связанной с вращающейся Землёй.
В классической механике постулируется, что второй закон движения Ньютона
[уравнение (1.1)] справедлив в системе координат с началом в центре
Солнца - в так называемой инерциальной системе координат. Наземные же
измерения обычно производятся в системе координат, связанной с Землёй,
которая вращается относительно инерциальной системы с постоянной угловой
скоростью ю. Уравнение (4.102) позволяет так модифицировать уравнения
движения, чтобы они были справедливыми в этой неинерциальной системе
отсчёта.
Прежде всего применим уравнение (4.102) к радиусу-вектору данной точки.
Проведя этот вектор из начала координат системы, связанной с Землёй,
получим:
где vs и vr - скорости данной точки относительно неподвижной и
вращающейся систем координат. Применим теперь уравнение (4.102) к
вычислению скорости изменения вектора va. Проделав это и подставив в
полученный результат из (4.104), будем иметь:
(la), = а* = (Л1)+" Х = (й) Х ^')X(0 Х (0) Х г)>
(4'105)
где через а8 и аг обозначены ускорения точки в двух координатных
системах. Поэтому уравнение движения, которое в инерциальной системе
координат имеет вид
сож> = ср sin 6 sin 6 -j- 0 cos 6, uy - cp sin 0 cos 6 - 0 sin ty, 0)z. =
cp cos 0 + 6-
(4.103)
(4.104)
F=n mav
§ 4.9]
СИЛА КОРИОЛИСА
153
будет во вращающейся системе записываться в виде
F - 2m(<i>X*V) - mta X ("> X r) = mar- (4.106)
Следовательно, наблюдателю, находящемуся во вращающейся системе, будет
казаться, что рассматриваемая точка движется под действием некоторой
эффективной силы F3$, равной
Fэф --- F-2m(o)X^r) - /ио)Х("Хг)- (4.107)
Исследуем члены, входящие в уравнение (4.107). Последний из них
представляет собой вектор, перпендикулярный к о> и направленный от оси
вращения. Величина его, как легко видеть, равна mio2rsin6 и,
следовательно, он представляет собой обычную центробежную силу. Если
рассматриваемая точка находится в покое относительно подвижной системы,
то центробежная сила является единственной добавочной силой, входящей в
выражение эффективной силы. Однако если эта точка движется, то появляется
третий, в нашем уравнении средний, член, известный как сила Кориолиса.
Порядок величины каждой из этих сил легко оценить, если рассмотреть
точку, находящуюся на поверхности Земли. Если смотреть с Северного
полюса, то вращение Земли будет казаться происходящим против хода часовой
стрелки, и угловая скорость этого вращения будет равна
' 24 • 3600
7,29 • 10"в сек
При этом значении ш и при г, равном радиусу Земли, центростремительное
