Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4.8]
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА
149
будет в этом случае равна углу поворота dw. Но гак как величина вектора
(или псевдовектора) инвариантна относительно ортогональных
преобразований, то \dQ\ будет совпадать с углом поворота в любой
координатной системе.
Можно рассуждать иначе. Пусть dQ обозначает вектор, направленный вдоль
оси вращения и равный по величине углу поворота. Тогда, несомненно, будет
справедливо уравнение (4.94), в чём можно убедиться с помощью
элементарного доказательства. Рассмотрим, например, изменение вектора г
при вращении его вокруг оси г на малый угол dQ по ходу часовой стрелки
(процедура, соответствующая вращению системы координат против хода
часовой стрелки). Из рис. 48 видно, что с точностью до величин высшего
порядка малости относительно dQ величина | dr | равна
| dr | = г sin (J dQ,
что совпадает с |гХ^Й|. Кроме того dr должно быть перпендикулярно к dQ и
г. Направление этого вектора видно из рис. 48.
Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно
записать в форме (4.94), вытекает также доказательство теоремы Эйлера, не
зависящее от доказательства, изложенного ранее. Действительно, любое
конечное перемещение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, можно
осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но
так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное
преобразование также будет вращением.
§ 4.8. Скорость изменения вектора. Понятие бесконечно малого поворота
даёт мощный инструмент для описания движения твёрдого тела. Рассмотрим
какой-нибудь вектор G, например радиус-вектор материальной точки или
вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно
изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в
которой производится наблюдение этого вектора. Возьмём, например, систему
координат, связанную с твёрдым телом, и рассмотрим вектор, идущий из
начала координат этой системы в некоторую точку тела. Ясно, что в системе
координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным. Однако
наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать,
что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела.
Рис. 48. Изменение вектора при бесконечно малом повороте.
150
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 4
Рассмотрим приращения, которые получают за время dt составляющие
произвольного вектора G. В системе координат, связанной с телом, эти
приращения будут отличаться от соответствующих приращений в неподвижной
системе координат, и это отличие вызывается только вращением системы,
связанной с телом. Символически это можно записать так:
Но приращения составляющих вектора вследствие бесконечно малого вращения
координатных осей определяются равенством (4.94). Следовательно,
откуда получаем следующее соотношение между дифференциалом dG в
неподвижной системе координат и дифференциалом dG, наблюдаемым в системе,
связанной с телом:
Скорость изменения вектора G получается посредством деления
(4.99) на дифференциал времени dt
т. е. мгновенная угловая скорость вращения тела. Вектор о) направлен
вдоль оси бесконечно малого поворота, совершающегося в момент t. Эта ось
называется мгновенной осью вращения.
Равенство (4.100) следует рассматривать не как формулу, относящуюся к
какому-нибудь конкретному вектору G, а скорее как уравнение
преобразования производной по времени при переходе от одной системы
координат к другой. На вектор G, который мы здесь дифференцируем, не было
наложено никаких условий. Произвольность этого вектора можно подчеркнуть,
записав уравнение
(4.100) в операторной форме
Как и всякое векторное равенство, уравнение (4.100) можно спроектировать
на оси любой системы координат. Рассмотрим, например, вектор
(dG)
тело - (^G)npooTj анство
'BI мщение*
(б?0)ВращенИе -= G /\ dQ,
(dG)пространство - (dС)Г.,Л) - - dQ /<( G.
(4.99)
т
\dt) i
пространство
(c) +"XC.
\at /тело
(4.100)
Здесь о)-угловая скорость тела
dt
(4.101)
(4.102)
§ 4.8]
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА
161
Он представляет скорость изменения вектора G, наблюдаемую в неподвижной
системе координат. Но если вектор F уже получен, то его составляющие
можно вычислить для любой системы осей, даже для движущейся, что часто
оказывается удобным. Однако здесь следует соблюдать осторожность: когда
производится проектирование на движущиеся оси, проекция Fх оказывается
неравной производной
Например, скорость изменения вращающегося вектора г, наблюдаемая в
неподвижной системе координат, есть некоторый вектор V, определяемый
равенством (4.94). При этом составляющие вектора v по осям системы,
вращающейся вместе с г, будут, вообще говоря, отличными от нуля. С другой
стороны, составляющие самого вектора г будут в этой системе постоянны и
их производные по времени будут равны нулю (независимо от того, в какой
системе находится наблюдатель). Таким образом, если производную вектора
по времени мы берём в одной системе координат, то вычислять её
