Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 55

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 161 >> Следующая

которые мы сейчас получим. Формально величины dQi связаны с элементами
матрицы е соотношением
з
A = W (4-96)
j, к = 1
где 8{д- символ Леви-Чивита, равный нулю, если среди индексов I, j, k
имеются одинаковые, и равный -f-1 или - 1 в зависимости от чётности или
нечётности перестановки
1 2 3 I j k
Например, при i - 1 все члены написанной суммы обращаются в нуль, за
исключением членов, для которых j = 2, k - Ъ или j = 3, k = 2. При этом
значении i формула (4.96) будет состоять только из двух членов и примет
вид
dQt = -j (8123s23 -j- 8J32s32).
Согласно определению здесь S123 = 1, а 8132 = - 1. Но так как е32 = -
з23, то окончательно будем иметь:
dQx - ~2 (S23 + (r)2з) = 323'
что согласуется с (4.91).
Аналогично, составляющие dQ'v являющиеся составляющими вектора dQ в новой
системе координат, можно записать в виде
dQi - y
j.h
Так как В_1 = В, то преобразованные матричные элементы зд связаны с
элементами smn равенствами
' VI
jni^mn^kn'
и поэтому dQi можно представить в виде
dQ
!, к т, п
Пользуясь символом Леви-Чивита, можно выразить также гтп через dQt:
smn ~ 2 ^Imn dQp I
§ •••/!
ЬЕСкОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ
147
и поэтому составляющие dQ' будут выражаться через составляющие dQ
следующим образом:
Покажем теперь, что суммирование по /, k, т и п приводит к следующему
простому результату:
Доказательство этого основывается на следующем выражении для величины
детерминанта:
где г, j, k - числа, получающиеся с помощью чётной, т. е. циклической,
перестановки чисел 1, 2, 3. Если же г, у, k будут образовывать нечётную
перестановку чисел 1, 2, 3, соответствующую нечётному числу перемен мест,
то эта сумма будет отличаться от детерминанта | В I только знаком.
Поэтому
которое можно ввести в правую часть предыдущего равенства. Проделав это,
получим
Наконец, так как величины Ьц являются элементами произвольной
ортогональной матрицы, то тождество (4.97) можно считать установленным.
Учитывая это, мы получаем следующие уравнения преобразования для dQi-
Преобразование (4.98) почти совпадает с линейным преобразованием (4.95),
которое можно было предположить априори; разница между ними лишь в
коэффициенте J В |- Поэтому для собственных вращений эти преобразования
совпадают полностью, но если
к, I т, п
(4.97)
dQi = | В | 2 bu dQx.
(4.98)
148
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ гл. 4
преобразование В содержит инверсию, то детерминант | В j вносит в
уравнения (4.98) добавочный знак минус. Этот вывод полностью совпадает с
тем, который был получен ранее с помощью менее строгих рассуждений.
Векторы, преобразующиеся согласно уравнениям (4.98), известны как
псевдовекторы. Следует заметить, что бесконечно малым характером матрицы
е мы нигде в этом доказательстве не пользовались, а исходили лишь из
свойств её симметричности. Следовательно, элементы любой атисимметричной
матрицы третьего порядка образуют составляющие псевдовектора.
Хотя в этом смысле dQ и не вполне является вектором, однако в большинстве
случаев это отступление не имеет значения. Известно, что многие величины,
которые обычно считаются векторными, часто наталкиваются на эту
"преграду". Так, например, любое векторное произведение двух обычных
векторов нужно считать псевдовектором, так как составляющие произведения
С-АХ В равны
Ci - AjBk - AkBy
где i = 1, 2, 3, a j и k следуют за i в циклическом порядке. Но при
инверсии составляющие векторов А и В меняют свой знак, и следовательно,
знак С при этом не изменяется, что указывает на то, что это псевдовектор.
Примерами псевдовекторов могут служить кинетический момент L = г X Р и
напряжённость магнитного поля. Скалярное произведение псевдовектора на
вектор называется псевдоскаляром. В то время как истинный скаляр вполне
инвариантен относительно ортогональных преобразований, псевдоскаляр
изменяет свой знак при любом несобственном вращении.
Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с
поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно
совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол
поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов
такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта
трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы
приходим к векторам dQ, определяющим эти повороты. Теперь мы можем
показать, что величина вектора dQ и его направление совпадают с теми,
которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных
вращений.
Из формулы (4.94) видно, что влиянию рассматриваемого бесконечно малого
преобразования не подвергаются лишь те векторы, которые параллельны dQ.
Однако известно, что векторы, не изменяющиеся при вращении, должны быть
направлены вдоль оси этого вращения, следовательно, эта ось направлена
так же, как dQ. Что касается величины вектора dQ, то её легко найти с
помощью матрицы е в случае, когда ось z совпадает с осью вращения.
Сравнивая формулы (4.90) и (4.91), мы видим, что величина вектора dQ
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed