Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
первого порядка малости. Тогда получим:
0 rfcp 0
1+в = - <icp 1 0
0 0 1
Отсюда для бесконечно малой матрицы е будем иметь:
0 <icp 0 0 1 0
s = - rfcp 0 0 = dc? I - 1 0 0
0 0 0 0 0 0
Заметим, что диагональные элементы матрицы е равны нулю, а отличные от
нуля элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,
отличаются друг от друга лишь знаком. Такие матрицы называются
антисимметричными или кососимметричными. Это свойство присуще не только
той частной матрице, которую мы сейчас рассматривали, а каждой матрице е
бесконечно малого вращения. Действительно, согласно (4.89) матрица А 1
равна 1 -е. Но при ортогональном преобразовании обратная матрица А-1
совпадает с транспонированной матрицей А> равной 1 -|- в. Следовательно,
е = - е,
144
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
или
что является определением антисимметричной матрицы *).
Так как диагональные элементы антисимметричной матрицы всегда равны нулю,
то в такой матрице третьего порядка могут быть лишь
три различных элемента. Следовательно, можем записать матрицу е в виде
0 dQ3 dQ 2
? - d Qs 0 dQx
dQ2 - dQx 0
не нарушая общности, мы
(4.91)
Ясно, что величины dQlt dQ2, dQs можно рассматривать как три независимых
параметра, определяющих рассматриваемое вращение. Покажем теперь, что эти
три величины являются составляющими некоторого вектора.
Приращения, которые получают составляющие вектора при бесконечно малом
преобразовании, определяются матричным уравнением
х' - х = ??х = ех, (4.92)
которое после подстановки развёрнутый вид:
из (4.91) приобретает следующий
dx ^ - х2 dQ3 - х3 dQ2, dx2 = х3 dQt -jq dQ3, dx3 - x1 dQ2 - x2 dQv
(4.93)
Правая часть каждого из написанных здесь равенств представляет одну из
составляющих векторного произведения ry^dQ, где dQ - вектор, составляющие
которого равны dQv dQ2, dQ3. Поэтому соотношения (4.93) можно представить
в виде векторного равенства
dr = г y^dQ. (4.94)
Однако представления равенств (4.93) в векторной форме ещё не достаточно
для доказательства того, что dQ есть вектор. Основным аргументом здесь
является наличие у известных свойств при выполнении над ним
ортогонального преобразования. Поэтому, если
*) Мы считаем, не оговаривая этого специально, что бесконечно малое
ортогональное преобразование является вращением. По своему смыслу это
утверждение является очевидным, так как "бесконечно малая инверсия" есть
понятие, противоречащее самому себе. Формально указанное утверждение
вытекает из антисимметричности матрицы s, так как вследствие этого все
диагональные элементы матрицы 1 -f- s будут с точностью до величин
высшего порядка малости равны единице. Поэтому детерминант такого
преобразования будет равен -J-1, что является признаком вращения.
§ 4.7]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ
145
dQ действительно есть вектор, то под действием ортогональной матрицы В
его составляющие должны преобразовываться согласно уравнениям
dQri = '2lbadQl. (4.95)
Но величины dQt были введены нами как элементы антисимметричной матрицы,
и совсем не очевидно, что элементы этой матрицы будут преобразовываться
согласно уравнениям (4.95). Как мы увидим позже, формальный вывод
уравнений преобразования для составляющих dQt оказывается довольно
сложным. Однако имеется несколько простых соображений, показывающих, что
dQ в основном "выдерживает" эти "испытания на вектор", хотя в одном
отношении он здесь терпит неудачу.
При ортогональном преобразовании координат посредством матрицы В
уравнение (4.92) принимает вид
dx' = eY, (4.92')
ruzdy.'их'- преобразованные матрицы, состоящие из одного столбца, а е'-
матрица, получающаяся из матрицы е посредством подобного преобразования с
помощью матрицы В:
e' = B"B-1-
Можно доказать, что свойство антисимметричности сохраняется при подобном
преобразовании посредством ортогональной матрицы (см. задачу 3 в конце
этой главы). Следовательно, матрица е' также является антисимметричной
с тремя элементами dQ[, dQdQ%.
Поэтому равенство (4.92л) можно записать в таком же виде, как и
равенство (4.93). Проделав это, мы придём к векторному соотношению
dr' = /*' х dQ', (4.94')
аналогичному соотношению (4.94). Таким образом, элементы антисимметричной
матрицы образуют вектор во всех декартовых системах координат, и поэтому
они должны преобразовываться подобно составляющим вектора.
Посмотрим, однако, как ведут себя уравнения (4.93) при инверсии s (см. §
4.6). Составляющие векторов г и dr, очевидно, изменяют при этом свой
знак, и если вектор dQ действительно является вектором, то то же самое
должно произойти и с его составляющими. Но уравнения (4.93) сохраняют
свою форму во всех координатных системах, что может иметь место лишь в
том случае, когда составляющие вектора dQ не меняют своего знака. Таким
образом, dQ обладает всеми свойствами вектора, за исключением свойств,
связанных с его поведением при несобственном вращении.
146 КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА |ГЛ. 4
Этот вывод можно проверить с помощью уравнений преобразования для dQ,
