Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
ортогональными матрицами. Вектор, который мы поставим в соответствие
некоторому повороту, должен, конечно, иметь определённое направление -
направление оси вращения и определённую величину, например равную углу
поворота. Мы сейчас увидим, что успешно осуществить такое соответствие
оказывается
*) Если некоторые корни векового уравнения являются кратными, то
соответствующие собственные векторы нельзя найти таким простым путём (см.
§§ 5.4 и 10.2). Действительно, если не все собственные значения матрицы
общего вида являются различными, то её не всегда можно диагонализировать.
Однако здесь нас это не должно беспокоить, потому что, как показывает
теорема Эйлера, у каждой нетривиальной ортогональной матрицы корень 1
является простым.
§ 4.7]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ
141
невозможным. Предположим, что А и В будут двумя такими "векторами",
связанными с преобразованиями А и В- Тогда, поскольку это векторы, они
должны обладать свойством коммутативности при сложении, т. е. для них
должно выполняться равенство
Д + В - ? + А.
Но сложение двух вращений, т. е. последовательное выполнение одного'из
них за другим, описывается, как мы знаем, произведением
-У
~7"
Исходное
положение
- uL.
Положение после поворота Положение после поворота на 90°вокруг оси z
на90° вокруг оси у
Рис. 45. Последовательные повороты вокруг осей z и у.
матриц АВ, и это умножение не коммутативно, т. е. АВ Ф ВА-Следовательно,
векторы А и В не будут обладать коммутативностью сложения и поэтому их
нельзя будет считать в полном смысле слова
-у
/
Исходное Положение после поворота Положение после поворота положение
на 90°вокруг оси у на90°вокруг оси z
Рис. 46. Повороты вокруг осей у и г, выполненные в порядке, обратном
тому, который изображён на рис. 45.
векторами. Тот факт, что сумма конечных вращений зависит от их порядка,
очень хорошо иллюстрируется простым примером, изображённым на рис. 45 и
46. На первом из них показан поворот призмы на 90° вокруг оси z, а затем
на 90° вокруг оси у, а на втором - те же вращения, но совершаемые в
обратном порядке. Конечные результаты, как видно из рис. 45 и 46,
получаются различными.
Хотя конечное вращение нельзя представить некоторым вектором, однако это
препятствие отпадает, если рассматривать лишь бесконечно малые вращения¦
Бесконечно малый поворот представляет собой такое ортогональное
преобразование, при котором составляющие
142
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 4
каждого вектора изменяются бесконечно мало. Так, например, если г -
некоторый вектор, а хг-одна из его составляющих, то х' будет иметь
практически такую же величину, как и поэтому можно написать:
АТ - xi ~t~ snxi Н~ si2x2 ~4~ sisxa-
(4.85)
Матричные элементы su, sl2 и т. д. следует рассматривать как бесконечно
малые, и во всех последующих выкладках следует сохранить только те
величины, которые не являются малыми более высокого порядка, нежели &iy
Уравнения бесконечно малого пре-У образования могут быть записаны в
виде
ИЛИ
Xi - 2 (°ij + (r)i j) Ху
(4.86)
Если величины 3^- рассматривать как элементы единичной матрицы, то
уравнения (4.86) можно будет записать в матричной форме
х' = (1 +(r))х-
(4.87)
Рис. 47. Бесконечно малый по ворот вокруг оси z.
Уравнение (4.87) показывает, что матрица бесконечно малого преобразования
имеет вид 1 -е, т. е. описывает почти тождественное преобразование,
отличающееся от него лишь бесконечно малым оператором.
Теперь можно показать, что при бесконечно малых преобразованиях
последовательность операций не существенна, т. е. что эти преобразования
коммутативны. Пусть 1 + 8Х и 1 -)- е2 суть два бесконечно малых
преобразования. Тогда произведение (1 ~f (r)i) (1 + (r)г) будет равно
(1 ~Ь (r)i) (1 ~f~ (r)г) - 1 2 "Ь- (r)i 1 Ч~ 1 (r)2 Н- (r)i(r)2 = 1 ~Ь (r)i Ч- (r)2
(4.88)
(с точностью до малых более высокого порядка). Но произведение тех же
преобразований, взятых в обратном порядке, можно получить из (4.88)
посредством перемены мест ех и е2, что не окажет влияния на окончательный
результат, так как сложение матриц коммутативно. Следовательно,
бесконечно малые преобразования являются коммутативными, что устраняет
возражение против представления их с помощью векторов.
Если А = 1 -|- (c) есть матрица бесконечно малого преобразования, то
обратная ей матрица будет равна
, -1
А = 1
-8.
(4.89)
§ 4.7]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ
143
Доказательство этого положения следует из равенства
АА"1 = (1 + (r))(1 -е) - 1,
согласующегося с определением обратной матрицы в форме (4.32).
Понятие бесконечно малого преобразования можно сделать более наглядным,
если рассмотреть специальный случай такого преобразования- бесконечно
малое вращение вокруг оси z. Для конечного вращения вокруг этой оси
матрица преобразования имеет вид [см. (4.43)]
COS ср sin ср 0
А = sin С2 COS ср 0
0 0 1
и, чтобы получить отсюда матрицу бесконечно малого вращения, нужно
заменить угол <р на бесконечно малый угол dy и пренебречь величинами выше
