Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
также сказать, что оно изменяет направления координатных осей на
противоположные (рис. 44) z и превращает правую систему координат в
левую; оно известно как инверсия.
Так как эта операция преобразует правую систему координат в левую, то
ясно, что инверсия не может быть ^ z
осуществлена посредством поворота • ' И"щхРосейК°°РДИНаТ"
системы координатных осей как твёрдого тела. Поэтому инверсия не
соответствует никакому реальному физическому перемещению твёрдого тела.
Всё то, что верно для матрицы S, в равной мере верно и для любой матрицы,
детерминант которой равен - 1, так как каждую такую матрицу можно
представить как произведение матрицы S на некоторую матрицу, детерминант
которой равен +1. Следовательно, такая матрица включает в себя операцию
инверсии и поэтому не может описывать поворот системы координат как
твёрдого тела. Стало быть, преобразования, описывающие движение твёрдого
тела,
§ 4.6] ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА 139
должны быть ограничены матрицами, имеющими детерминант, равный -]- 1.
Другое доказательство этой леммы основывается на том факте, что матрица
рассматриваемого преобразования может быть получена посредством
непрерывного изменения единичной матрицы, детерминант которой,
разумеется, равен -j- 1. Поэтому было бы несовместимо с непрерывностью
движения, если бы детерминант этой матрицы изменялся в некоторый момент
времени скачком, от значения -j- 1 до значения - 1 *).
Теперь нам потребуется ещё одна лемма.
4. Число, комплексно сопряжённое собственному значению, есть также
собственное значение.
Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов
векового уравнения (4.83). Действительно, если X есть некоторое решение
уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно сопряжённое
уравнению (4.83), мы увидим, что X* есть решение того же самого
уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят
попарно и являются комплексно сопряжёнными по отношению друг к другу.
Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы
Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной
ортогональной матрицы с детерминантом, равным -(-1. Прежде всего заметим,
что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как
вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь
-)- 1 или -1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них
будут равными, то третий корень непременно будет равен -(- 1, так как
иначе детерминант матрицы не будет равен -)-1. Исключая, далее,
тривиальный случай, когда все три корня равны -(- 1 (что соответствует
тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся ещё
возможностью является существование одного вещественного корня и двух
комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряжёнными и их
произведение равно -{- 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом
случае равен -j- 1, так как в противном случае мы не получим нужной
величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом
преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -
j- 1, что и утверждает теорема Эйлера.
Направляющие косинусы оси вращения можно получить теперь, полагая в
уравнениях (4.76) Х=1 и разрешая их относительно
*) Ортогональные преобразования с детерминантом, равным -1, называют
несобственными вращениями в отличие от преобразований с детерминантом -|-
1, которые согласно теореме Эйлера являются собственными вращениями.
140
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
X, Y, Z *). Угол поворота Ф также может быть найден без особого труда.
Для этого представим себе, что мы перешли к системе координат, в которой
ось z направлена вдоль оси вращения. В этой системе мы вместо матрицы А
будем иметь матрицу А> описывающую поворот оси z на угол Ф. Эта матрица
имеет вид:
cos Ф Sill Ф 0
А' = - sin Ф cos Ф 0
0 0 1
След матрицы А' (см. § 4.5) равен
1 -j- 2 соэф,
и так как след матрицы инвариантен относительно подобных преобразований,
то матрица А должна иметь тот же след. Таким образом, мы получаем
равенство
2 аи = 1 -f- 2 cos Ф, (4.84)
г
определяющее угол поворота через элементы матрицы. Выражая, например,
элементы аи через углы Эйлера, мы можем получить угол поворота Ф как
функцию углов со, 0, ф, являющихся углами последовательных вращений.
Непосредственным следствием теоремы Эйлера является теорема Шаля,
согласно которой произвольное перемещение твёрдого тела в пространстве
является поступательным перемещением плюс вращение. Подробное
доказательсто этой теоремы вряд ли является необходимым. Она вытекает из
того простого факта, что в случае уничтожения связи, удерживающей одну
точку тела неподвижной, появляются три степени свободы для начала
координат системы, связанной с телом.
§ 4.7. Бесконечно малые повороты. Целесообразно попытаться установить
соответствие между векторами и конечными поворотами, описываемыми
