Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 48

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 161 >> Следующая

Q. Следует отметить, что матрица, эрмитовски сопряжённая с Р, совпадает в
данном случае с самой матрицей Р5. Такая матрица называется
самосопряжённой или эрмитовской. Кроме того, сумма диагональных элементов
матрицы Р, известная под названием шпур или след, будет здесь равна нулю.
Но можно показать, что оба эти свойства матрицы (то, что она является
эрмитовской, и то, что её шпур равен нулю) сохраняются при подобном
преобразовании (см. задачи в конце этой главы). Следовательно, матрица Р'
также должна быть эрмитовской и должна иметь шпур, обращающийся в нуль,
что возможно только тогда, когда она имеет вид
р, I г * - O'
(4.60)
где х', у', z' - вещественные числа. Далее, детерминант матрицы Р также
инвариантен в отношении подобного преобразования (4.59), и поэтому мы
можем написать:
|Р[ = -(*2 + у2 + 22) = _(^+/2+2,2)==|р,(>
Это соотношение является условием ортогональности; оно требует, чтобы
длина вектора г - xi-\-yj-\-zk оставалась неизменной при переходе от xyz
к x'y'z'. Таким образом, мы видим, что каждой унитарной матрице Q в
двумерном комплексном пространстве соответствует некоторое связанное с
ней ортогональное преобразование в обычном действительном пространстве
трёх измерений. Рассмотрим это соответствие более подробно. Пусть В будет
вещественной ортогональной матрицей, преобразующей х в х'. и пусть будет
соответствующей унитарной матрицей. Тогда будем иметь:
х' = Вх
и
Р' - QiPQi+ •
Пусть теперь совершается второе ортогональное преобразование,
преобразующее х' в х" с помощью матрицы А:
х" - Ах'.
§ 4.5] ПАРАМЕТРЫ КЭЙЛИ---КЛЕЙНА 129
Тогда для соответствующей матрицы Q2 будем иметь:
Р" = Q2P'Q2+.
Рассмотрим теперь непосредственное преобразование х в Оно производится
матрицей С. равной
С = АВ,
а соответствующее преобразование Р в Р" осуществляется посредством
подобного преобразования с некоторой матрицей Q3, которая должна
соответствовать матрице С- Однако преобразование Р в Р" описывается
равенством
Р" = Q2Q1PQi+Q2+ ,
причём легко показать, что
Qi+Q2+
:(Q2Qi)+.
Тогда на основании того, что произведение двух унитарных матриц есть
опять унитарная матрица, можно сделать вывод, что
Q3 = Q2Qr
Таким образом, соответствие между комплексными унитарными матрицами
второго порядка и вещественными матрицами третьего порядка таково, что
каждое соотношение между матрицами одной системы будет справедливым и для
соответствующих матриц другой системы. Две такие системы матриц
называются изоморфными.
Элементы ортогональной матрицы А можно выразить через элементы изоморфной
матрицы Q. Из (4.54) и (4.55) следует, что матрица, эрмитовски
сопряжённая с Q, равна
Q =
а* у*
Р*8* II II - Т а II '
Поэтому, введя для упрощения выкладок обозначения
х = х -|- iy, х_ = х - iy,
мы сможем записать матрицу Р' в виде
г' х'_ а р 1 2 х з -р
Р' = / /
х -Z у 3 II Х+ -2 - Y а
или, после выполнения умножения:
(а§-|-(Зу) д - аух -|~3ojc+ -2сф,г-|-а2л: -
Р' =
- 32лг,
2 у§2- y2x_--j-32xH
- (аЗД-^у) z-f-a~(X_-р Зх4
(4.61)
130 КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 4
Приравнивая теперь соответствующие элементы написанных матриц, мы
получаем уравнения перехода от неподвижной координатной системы к
подвижной:
х'+ ~ 2yoz -у2х_ -|-52х+, 1
хг_ = -2 ф +а2х_ - |В2.х+, > (4.62)
с' = (а8 4- Рт)2 - аТл'_ 4" • J
Наконец, желая выразить матричные элементы ац через а, [3, у
и 8, мы можем сравнить уравнения (4.62) с общими уравнениями
преобразования (4.14). Так, например, последнее из уравнений (4.62) можно
написать в виде
г' = (Зо - esq) х 4- i (ay ?3) у + (аЗ + $у)
Отсюда непосредственно следует, что
"з1 = (Р3~^), a32 = i(aT + p3), ам = ао + ^.
Таким путём легко найти матрицу полного преобразования, которая будет
иметь вид
i(a2 -т2 + о2 -132) l(T2-a2+32^2) т3_в?
1 (а2 + т2 - р - о2) I (a2+T2+3'2+S2) _ i (ap+T3)
,38 - ay i (sq p3) a3 4- Pt
.(4.63)
Эта матрица определяет ориентацию твёрдого тела, причём она выражена
только через величины а, ,3, ¦у, 8. Следовательно, подобно углам Эйлера,
эти четыре величины могут служить в качестве параметров, определяющих
ориентацию твёрдого тела; они известны как параметры Кэйли - Клейна *).
Вещественность элементов матрицы (4.63) следует из того, что матрица Р
является эрмитовской, но она может быть доказана и непосредственно, путём
вычисления элементов этой матрицы с помощью соотношений (4.54), (4.55).
Параметры Кэйли-Клейна можно выразить через углы Эйлера с помощью
непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными
через <р, Ь и Л. Однако проще и более поучительно образовать сначала
матрицы Q?, QfJ и СЦ, соответствующие последовательным вращениям,
определяющим углы Эйлера, после чего их можно будет объединить в одну
полную матрицу. Так,
*) Матрица (4.63) не совпадает с соответствующей матрицей, указанной,
например, в книге Уиттекера, стр. 12. В сущности это произошло вследствие
различного выбора начальной матрицы Р. Ясно, что имеется много способов
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed