Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
вокруг ОСИ ;, и ПОЭТОМу
(4.44)
Наконец, последнее преобразование есть вращение вокруг оси и поэтому
матрица В имеет такой же вид, как D:
(4.45)
Вычисляя теперь полную матрицу A = BCD. будем иметь:
cos <Ь cos tp-• cosOsintpslni COS ф Sin tp cos 0 cos tp sin ф sin Ф Sin 0
A= -Sin^COSCf-COS 0 Sin tp cos 6 - sin ф sin tp-j-COS Ocos tp COS ф cos
ф sin 0
sin 0 sin tp - Sin 0 COS tp COS 0
(4.46)
Преобразование, обратное А, осуществляющее переход от системы, связанной
с телом, к неподвижной системе xyz, описывается уравнением
Д --1 /
х = А х ,
и матрица этого преобразования А"1 есть просто транспонированная матрица
А:
А-1 = А =
(bmsiD -rnsfl sinosintb -sin ф cos <p - COS 0 sin tp COS ф sin 0 sin tp
• sin ф sin tp cos 0 cos tp cos ф -sin 0 cos tp sin 0 cos <L cos 0
(4.47)
Проверку проделанных нами умножений матриц, а также проверку
ортогональности матрицы А мы предоставляем читателям произвести
самостоятельно в качестве упражнения.
§ 4.5. Параметры Кэйли - Клейна. Для определения ориентации твёрдого тела
применяются и различные другие переменные, удобные в некоторых
специальных исследованиях. Такими переменными,
cos tli cos tp - cos 0 sin 9 sin ф
COS 6 sin tp -[-eCOS0COSipsintli
sin 0 sin Ф
126
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕ НИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
в частности, являются так называемые параметры Кэйли - Клейна, на которых
следует остановиться более подробно, так как они представляют известный
интерес.
Число этих параметров равно четырём, и, следовательно, они не являются
независимыми, вследствие чего не могут служить в качестве обобщённых
координат. Они были введены в классическую механику Ф. Клейном главным
образом для облегчения интегрирования уравнений при решении сложных
гироскопических задач. В настоящее время эти координаты интересны главным
образом тем, что они тесно связаны с вопросом о пространственном вращении
в квантовой механике.
В предыдущих параграфах мы рассматривали ортогональные преобразования в
действительном двумерном пространстве с осями хг и х2-Теперь мы
рассмотрим другое двумерное пространство, являющееся комплексным. Оси его
мы обозначим через и и v. Общее линейное преобразование в таком
пространстве имеет вид:
В дальнейшем мы ограничимся лишь такими преобразованиями Q, которые
являются унитарными и детерминант которых равен 1. Следует подчеркнуть,
что эти требования являются независимыми, так как свойство унитарности
[формула (4.39)] имеет вид:
Из этого равенства видно, что детерминант [Q] имеет модуль, равный
единице, но аргумент его может быть при этом произвольным. Поэтому
условие |Q| = 1, или, более подробно,
является дополнительным требованием и не содержится в унитарности этого
преобразования.
Матрица общего линейного преобразования в двумерном комплексном
пространстве имеет восемь величин, так как каждый из четырёх её элементов
является комплексным. Однако наложенные нами требования уменьшают число
независимых величин этой мат-
(4.48)
и матрицей этого преобразования будет
(4.49)
QfQ = 1
(4.50)
Отсюда следует, что
Q ГIQI == 1 -
аЬ - Эт == Н~ 1 •
(4.51)
§ 4.5]
ПАРАМЕТРЫ КЭЙЛИ КЛЕЙНА
12?
рицы. Если условие унитарности [уравнение (4.50)] раскрыть, то оно
запишется в виде следующих уравнений:
а*а+р*[3= 1, | Т*Т+ 8*8 = 1,
а*Т +[3*3 = 0. J
(4.52)
Здесь два первых уравнения вещественные, а третье комплексное' и поэтому
в них содержатся четыре условия. Пятым условием здесь будет условие
(4.51), накладываемое на детерминант этого преобразования. Поэтому
матрица Q содержит только три независимых величины, т. е. как раз такое
число, какое нужно для определения ориентации твёрдого тела в трёхмерном
пространстве.
Некоторые из преобразований, приводящих к независимым параметрам этой
матрицы, можно выполнить без особых трудностей. Так, например, из
последнего уравнения (4.52) получаем
(4.53)
что после подстановки в условие (4.51) даёт
-(aa'+j^i =1.
Но согласно первому из уравнений (4.52) величина, стоящая в скобках,
равна единице. Следовательно,
? = -+*. (4.54)
Отсюда на основании (4.53) получаем
§ = а*. (4.55)
На основании четырёх полученных условий [равенств (4.54) и (4.55)]
матрицу Q можно записать в виде
со
a р
-г аф
(4.56)
(4.57)
с одним остающимся условием
1.
Однако мы часто будем предпочитать прежнюю форму записи, т. е. форму
(4.49).
Рассмотрим в этом пространстве матричный оператор Р, имеющий следующую
специальную структуру:
z х - 1у
x-\-ly -z
(4.58)
128
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Три вещественных числа х, у, z мы будем интерпретировать как координаты
некоторой точки в трёхмерном пространстве. Пусть посредством матрицы Q
рассматриваемая матрица Р преобразуется следующим образом:
Р' = QPQ+- (4.59)
Это соотношение вытекает из свойства унитарности матрицы Q, для которой
эрмитовски сопряжённая матрица такова же, как обратная матрица Q-1.
Поэтому уравнение (4.59) просто описывает подобное преобразование матрицы
Р в случае, когда пространство uv подвергается унитарному преобразованию
