Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования, соответствующие двум последовательным поворотам твёрдого
тела. Первое из этих преобразований,, соответствующее переходу от г к г',
мы обозначим через В- Тогда будем иметь:
г' = А г.,
(4.19)
х'к = 2 hcjXy
(4.20)
Последующее преобразование, соответствующее переходу к третьей
координатной системе, т. е. от г' к г", мы обозначим через А-
§ 4.3] ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
117
Тогда аналогично получим:
х1=^У,ашхк. (4.21)
к
Объединяя теперь уравнения (4.20) и (4.21), мы можем получить //
соотношение между х\ и х.у
хг - 2 aik 2 Ьkjxj === 2 /2 aikPkj \ xj'
к j j \ к /
что можно записать в виде:
¦4=2^, (4.22)
3
где
Oj = 2oi khy (4-23)
к
Таким образом, последовательное применение двух ортогональных
преобразований А и В эквивалентно третьему линейному преобразованию-
преобразованию С- Можно показать, что оно также является ортогональным.
(Доказательство мы предоставляем провести читателям самостоятельно
в качестве упражнения.) Символически
результирующий оператор С можно рассматривать как произведе-
ние операторов А и В:
С = АВ,
и элементы сбудут по определению элементами матрицы, получаемой от
перемножения матриц А и В-
Заметим, что это "матричное" или операторное умножение не обладает
свойством коммутативности, и поэтому в общем случае
ВА^АВ-
Действительно, по определению, элементами преобразования D = ВА будут
dij - 2 ^гкак)' (4.2'4)
к
которые в общем случае не совпадают с элементами матрицы С> определяемыми
уравнениями (4.23). Следовательно, конечная координатная система будет
зависеть от того, какой из операторов А и В действует раньше: сначала А,
а потом В или наоборот. Однако умножение матриц обладает свойством
ассоциативности, т. е. при перемножении трёх или более матриц
последовательность
этих умножений может быть выбрана произвольно, что можно
записать в виде равенства
(АВ)С = А(ВС). (4.25)
Мы уже говорили, что, записывая уравнение (4.19) в виде г' = А г, мы
просто пользуемся символическим обозначением для
118
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
указания определённой операции А, совершаемой над координатной системой
(или над вектором). Но, расширяя наше понятие о матрицах, можно сделать
так, что эта запись будет указывать на действительное умножение: на
умножение матриц. Матрицы, рассматривавшиеся нами до сих пор, были
квадратными, т. е. число их строк равнялось числу столбцов. Однако можно
рассматривать также матрицы, состоящие всего лишь из одного столбца,
такие, как
t
*1 хх
X = , х' = г Хг
*8 / *3
Под произведением Ах мы, по определению умножения матриц, будем понимать
матрицу, состоящую из столбца с элементами
(Ax)i ¦ ^ijXj Xi<
3
Поэтому уравнение (4.19) мы сможем записать в виде равенства
х' = Ах, (4.27)
рассматривая его как матричное уравнение.
Сложение двух матриц не является такой важной операцией, как их
умножение, однако оно встречается достаточно часто. Под суммой А + В
понимается такая матрица С, элементы которой получаются посредством
сложения соответствующих элементов А и В- Таким образом, можно написать:
cij - O'ij -Ь bij-
Большое значение имеет преобразование, обратное А, т. е. операция,
посредством которой вектор г' преобразуется обратно в г. Это
преобразование мы будем обозначать символом А-1,
а элементы соответствующей матрицы обозначим через аТогда мы будем иметь
систему уравнений
-*Т=2"44> (4-28)
з
которая должна согласовываться с системой
4 = 2a*i*i- (4-29)
г
Подставляя в последнюю систему xi из (4.28), получаем:
4 = 2 о*г 2 a'ijXj = 2 (2 akia'i.i) 4- (4.290
г j 3 \ i /
и так как составляющие вектора г' являются независимыми, то
уравнение (4.290 будет справедливым только тогда, когда правая
§ 4.3] ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
119
часть его будет тождественно равна х'к. Поэтому при j - к коэффициент при
х'- должен быть равен единице, а при /=?&- нулю. Следовательно, можно
написать:
'21аыац = Ък}. (4.30)
г
Легко видеть, что левая часть этого равенства представляет элемент
матрицы ДА"1, а правая- элемент так называемой единичной матрицы, равной
1
1 0 0 0 1 о 0 0 1
(4.31)
Поэтому (4.30) можно записать в виде:
АА-1 = 1, (4.32)
из которого становится ясным обозначение А-1, принятое нами для обратной
матрицы. Преобразование, соответствующее' матрице 1, известно под
названием тождественного преобразования. Оно не изменяет первоначальной
координатной системы, т. е. для него справедливо равенство
X = 1 X-
Аналогичное равенство имеет место и для умножения матрицы 1 на
произвольную матрицу А, притом независимо от порядка этого умножения.
Таким образом,
1А -А1 = А-
Слегка изменяя порядок доказательства равенства (4.32), покажем, что А и
А-1 коммутативны. Вместо того, чтобы подставлять х4 из (4.28) в (4.29),
можно с тем же основанием исключить из этих уравнений не х, а х', что
приведёт к равенству
aijajk - 5ik'
з
аналогичному (4.30). Записав полученное равенство в матричных
обозначениях, получим:
