Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
называется ортогональным, а сами условия (4.15) известны под названием
условий ортогональности. Таким образом, переход от неподвижной системы
координат к системе, жестко связанной с твёрдым телом, совершается
посредством ортогонального преобразования. Записывая коэффициенты
преобразования (направляющие косинусы) в виде таблицы
(4.16)
Й11 а12 ali
a2i а22 а23
Й31 а32 азз
мы получаем так называемую матрицу преобразования. Будем обозначать её
через А- Величины называют элементами матрицы преобразования.
Чтобы сделать все эти формальные выкладки более наглядными, мы рассмотрим
один простой пример. Пусть рассматриваемое движение является плоским.
Тогда соответствующие координатные системы также будут плоскими и.
индексы при коэффициентах aij будут принимать лишь два значения: 1 и 2.
Матрица преобразования будет тогда иметь вид:
Рис. 40. Поворот плоской системы координат, осуществляющий ортогональное
преобразование.
ап й12
а2\ й22
Четыре элемента этой матрицы должны быть связаны тремя условиями
ортогональности:
2 aijaik 1
(У, й=1, 2).
Следовательно, это преобразование определяется только одним независимым
параметром. Такой вывод не является, конечно, неожиданным, так как
переход от одной плоской системы координат к другой осуществляется
посредством поворота координатных осей в их плоскости (рис. 40) и поэтому
полностью определяется одной
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ИЗ
величиной: углом поворота ср. Выражая уравнения этого преобразования
через параметр ср, получим:
= Хх COS ср
г
Хг =
A^sin ср, хг sin ср -j- х2 cos ср,
и, следовательно,
¦ cos ср,
= ---- Sin СО,
: SU1 Ср,
: COS СВ,
(4.17)
так что матрица А примет вид
COS ср sin ср
- sin ср COS ср
(4.170
Три условия ортогональности будут здесь иметь вид:
аиаи "Ьй21а21 = 1 >
^12^12 ^22^22 = 1 >
^11^12 О- #21^22 == (r)
и, очевидно, будут удовлетворены, так как, заменяя элементы а4 их
выражениями (4.17), получаем:
cos2 ср -}- sin2 св = 1, sin2 ср -j- cos2 ср = 1, cos ср sin ср - sin ср
cos ср = 0.
Матрицу А можно рассматривать как оператор, который, действуя на систему
ххх2х3, преобразует ей в систему х1х2х'3. Символически это можно записать
в виде равенства
(г)' = Аг, (4.18)
которое мы прочтём следующим образом: матрица А. действуя на
составляющие
вектора г в системе ххх2х3, переводит их в составляющие этого вектора в
системе х'х'х'. Следует подчеркнуть, что матрица А действовала до сих пор
только на координатную систему. Вектор г оставался при этом неизменным, и
мы лишь искали его компоненты в двух раз-
личных системах координат. Поэтому вектор г в левой части формулы (4.18)
мы заключили в скобки, подчёркивая тем самым, что в обеих частях этого
равенства фигурирует один и тот же вектор, изменяются только его
составляющие. Мы видели, что в двумерном случае это преобразо-
Рис. 41. Интерпретация ортогонального преобразования с помощью поворота
вектора г в неизменной системе координат.
I lb
КИНЕМАТИКА движения твердого тела
[гл. 4
вание является обычным вращением, и матрица А совпадает с оператором
поворота в рассматриваемой плоскости.
Однако следует иметь в виду, что, не меняя формальной математической
стороны, мы можем под А понимать также оператор, действующий на вектор г
и преобразующий его в другой вектор /¦'. Это можно записать в виде
равенства
в котором оба вектора рассматриваются в одной и той же системе координат.
Тогда в двумерном случае мы вместо вращения координатной системы получим
вращение вектора г, который нужно будет повернуть по часовой стрелке на
угол (r) для совмещения его с новым вектором г'. Составляющие нового
вектора будут связаны с составляющими старого вектора теми же уравнениями
(4.12), которые описывают преобразование системы координат. Поэтому с
формальной точки зрения мы в уравнении (4.18) не обязаны ставить скобки.
Это уравнение можно писать так же, как уравнение (4.19), и
интерпретировать либо как операцию над координатной системой, либо как
операцию над вектором. Алгебра соответствующего преобразования не зависит
от того, какой из двух точек зрения мы будем придерживаться.
Интерпретация матрицы А как оператора, действующего на координатную
систему, будет более целесообразна в том случае, когда рассматривается
ортогональное преобразование, определяющее ориентацию твёрдого тела. С
другой стороны, интерпретация этой матрицы как оператора, преобразующего
один вектор в другой, имеет более широкое применение. При формально
математическом рассмотрении можно пользоваться любой из этих
интерпретаций в зависимости от удобства. Нужно, однако, помнить, что
смысл операции, представляемой оператором А, будет изменяться при
изменении интерпретации. Так, например, если в одном случае оператор А
означает вращение системы координат на угол (r) против хода часовой
стрелки, то в другом случае он будет означать вращение вектора по ходу
часовой стрелки.
§ 4.3. Формальные свойства матрицы преобразования. Рассмотрим
