Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 42

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 161 >> Следующая

Написанные соотношения справедливы не только для радиуса-вектора г, но и
для любого другого вектора. Так, например, если О есть некоторый вектор,
то между его проекцией на ось х' и проекциями на оси х, у, z будет иметь
место соотношение
Gxr - (G ¦ г") = GtjGx -j- a.2Gy -f- aJjz.
Аналогичные соотношения можно написать и для Gy/, и Qzr. Таким образом,
девять направляющих косинусов полностью определяют переход от одной
координатной системы к другой.
Если подвижные оси x'y'z' жёстко связаны с телом, то девять направляющих
косинусов будут функциями времени (так как в процессе движения тело
изменяет свою ориентацию). В этом смысле величины а, [3, у можно
рассматривать как координаты, описывающие мгновенную ориентацию тела.
Однако ясно, что они не являются независимыми, так как их девять, а мы
знаем, что для определения ориентации тела достаточно задать только три
координаты.
Соотношения между направляющими косинусами определяются тем
обстоятельством, что орты осей каждой системы ортогональны друг другу и,
кроме того, имеют единичную величину. Это можно записать в виде равенств:
I • j - jk = ki = О
и
i ¦ i=J k ¦ k = 1 (4.7)
и аналогично для V, j', k'. Подставив сюда вместо /, j, k их выражения
^ерез Г, j', k' [согласно (4.5)], мы получим условия, которым должны
удовлетворять девять коэффициентов а, р, у:
агат + \jfim + ТгТт - (r) т ~ * ' 2, 3; 1фт),
а2_|_р2+Тг=1 (1=1, 2, 3). (4-")
112
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
(гл. 4
Эти две системы уравнений вполне достаточны для того, чтобы уменьшить
число независимых коэффициентов с девяти до трёх. Формально эти шесть
уравнений можно объединить в одно с помощью символа Кронекера Ьгт,
определяемого следующим образом:
hm = 1 Ц = т),
8гт = 0 (1фт).
Если воспользоваться этим символом, то уравнения (4.8) можно записать в
виде
Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как
обобщёнными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его
помощью уравнения дзижения. Для этой цели мы должны использовать не сами
эти косинусы, а некоторую систему трёх независимых функций этих
косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых
наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже.
Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя
декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ.
Так, например, многие теоремы о движении твёрдых тел можно получить с их
помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в
специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот
метод заслуживает более подробного изложения.
§ 4.2. Ортогональные преобразования. Для более удобного рассмотрения
девяти направляющих косинусов целесообразно изменить обозначения и все
координаты обозначать символом дг, различая их посредством
соответствующих индексов. Таким образом, мы будем пользоваться следующими
обозначениями:
a/am4_?Zpfli*T"Tz7m==
(4.9)
х -у х j, *| У-+Хг, | Z -> х3. ]
J
(4.10)
В этих обозначениях уравнения (4.6) примут вид:
хх - лххх -j- а2хг а3дг3, ]
(4.11)
Равенства (4.11) представляют собой формулы перехода от системы координат
xxx2xs к новой системе х[х'2х3. Они могут служить при-
§ 4.2]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
113
мером линейного преобразования, определяемого уравнениями вида:
где ап, а12, ¦ . . -постоянные коэффициенты *) (не зависящие от л: и х').
Уравнения (4.11) являются лишь специальным случаем уравнений (4.12), так
как не все направляющие косинусы являются независимыми.
Зависимости между коэффициентами рассматриваемого преобразования [формулы
(4.8)] можно теперь получить, исходя из равенств (4.12). Так как наши
координатные системы являются декартовыми, то в каждой из них величина
радиуса-вектора некоторой точки равна корню квадратному из суммы
квадратов его составляющих. Но величина вектора не зависит от того, в
какой системе координат он рассматривается, и' поэтому она должна быть в
этих системах одинаковой. Следовательно, величина
является при этом преобразовании инвариантной. Записывая уравнения (4.12)
в более компактной форме
з
Полученное выражение будет равно правой части равенства (4.13) только в
том случае, если
*) Уравнения (4.12) являются, конечно, не самыми общими уравнениями
преобразования [см., например, уравнения (1.36), описывающие переход от г
к д].
-• опхг -}- а12х2 -(- а13х3, )
' I I 1
х2= а2ххх а22х2-]-а22х3, ¦ Хг = azlx1-\~a^x.i--^ а32х3,
(4.12)
(4.13)
i=l i-1
х\= (/-1,2, 3),
j=1
(4.14)
мы для левой части равенства (4.13) получим:
4 = l\j = i / \k = l / 4 = 1 j> к = 1
или, изменяя порядок суммирования:
г
г
14
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО 4еЛА
[гл. 4
или, в более компактной записи, если
2 aijaik :
(у, k= 1, 2, 3).
(4.15)
Если фигурирующие здесь коэффициенты заменить коэффициентами а, р, *(¦>
то шесть уравнений (4.15) перейдут в уравнения (4.9).
Любое линейное преобразование (4.1.2), удовлетворяющее условиям (4.15),
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed