Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 41

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 161 >> Следующая

имеется ~ N(N-1) уравнений (4.1), что при большом значении
А/ превышает 3N. Это связано с тем, что не все уравнения (4.1) являются
независимыми, так как для каждой конкретной точки твёрдого тела не
обязательно определять её расстояния до всех других точек; достаточно
задать её расстояния до трёх любых точек, не лежащих на одной прямой
(рис. 37). Поэтому, если заданы
§ 4.1]
НЕЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ ТВЁРДОГО ТЕДА
106
положения трёх точек твёрдого тела, то положения всех остальных его точек
определяются из условий связи. Следовательно, число степеней свободы
твёрдого тела не может превышать девяти. Однако три основные точки тела
также не являются независимыми. Действительно, здесь имеются три
следующих уравнения жёсткой связи, наложенной на эти точки:
Г12 - с12' г-г% - С23> rV3 ~ ci$-
Эти уравнения уменьшают число степеней свободы до шести.
Тот факт, что для задания положения твёрдого тела нужно только шесть
координат, можно было предвидеть, исходя из следующих соображений. Для
того чтобы определить положение одной из точек тела, нужно задать три
координаты. Но если положение какой-либо точки 1 будет фиксировано, то
положение точки 2 можно будет определить только двумя координатами, так
как её движение ограничено поверхностью сферы с центром в точке 1.
После того как положения точек 1 и 2 определены, точка 3 получает лишь
одну степень свободы, так как она может только вращаться вокруг оси,
соединяющей точки 1 и 2. Следовательно, в общей сложности нам достаточно
иметь лишь шесть координат.
Таким образом, для задания положения твёрдого тела в пространстве
требуется шесть независимых обобщённых координат. Число это не зависит от
количества частиц, составляющих данное тело, и остаётся тем же даже в
предельном случае непрерывного сплошного тела. Конечно, помимо связей,
обеспечивающих жёсткость тела, могут иметься и дополнительные связи.
Например, движение тела может быть ограничено некоторой поверхностью или
тело может иметь одну неподвижную точку. В этих случаях добавочные связи
будут уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число
независимых координат.
Возникает вопрос о том, как следует выбрать эти координаты. Мы уже
отмечали, что положение твёрдого тела полностью определяется положением
жёстко связанной с ним системы координат (система x'y'z' на рис. 38). Эта
система определяет положение твёрдого тела относительно координатных осей
xyz, связанных с окружающим пространством. Ясно, что для того, чтобы
задать положение начала подвижной системы (связанной с телом), нужно
указать три его координаты. Тогда остальные три координаты должны будут
определять ориентацию осей x'y'z' относительно
Рис. 37. Определение положения точки в твёрдом теле посредством задания
её расстояний от трёх других его точек.
110
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
(ГЛ. 4
системы, начало которой находится в точке О', а оси параллельны осям xyz.
Существует много способов задания ориентации одной декартовой системы
относительно другой, имеющей с ней общее начало.
Наиболее удачный из них состоит в задании направляющих косинусов осей
x'y'z' относительно осей xyz. Ось х', например, можно определить тремя её
направляющими косинусами а1( а2> аз-Если единичные векторы осей х, у, z
обозначить, как обычно, через I, j, к, а единичные векторы осей х', у',
г' - через V, j', k', то эти направляющие косинусы можно записать в виде:
a.t = cos (ir, i) = V ¦ i, ^
a2 = cos ("', j) = i' ¦ j, } (4.2)
a3 = cos (*', k) - V ¦ k. )
Рис. 38. Неподвижная система координат и система координат, связанная с
твёрдым телом.
Вектор i' можно выразить через векторы г, j, k с помощью соотношений
или
\i' • i1' ¦ k)k
i' = 'j.xi 4- xj 4~ z.k.
(4.3)
Аналогичные выражения можно получить и для направляющих косинусов оси у'
относительно осей х, у, г.
Они будут компонентами вектора j в неподвижной системе координат, и,
обозначив их через j32, [З3, получим:
(4.4)
Наконец, обозначив направляющие косинусы оси z' через у2, мы получим ещё
одно аналогичное уравнение, относящееся к вектору k'. Система из девяти
направляющих косинусов будет полностью определять ориентацию системы
x'y'z' относительно системы xyz. С равным основанием мы можем обратить
этот процесс и использовать направляющие косинусы для выражения единичных
векторов i, j, k через их составляющие по осям х', у', z'. В этом случае
будем иметь
i = (?. i') i' (i. f)f -j- (i. k') k'.
щне положение подвижном системы координат относительно неподвижной.
§ 4.1]
1ЕЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА
111
ИЛИ
i == aj' -(- (4-5)
и аналогично для векторов j и k.
Направляющие косинусы позволяют также выразить координаты некоторой точки
в системе x'y'z' через её координаты в системе xyz. Так как координаты
точки относительно некоторой системы являются проекциями её радиуса-
вектора г на оси этой системы, то
х' - г • i', у' - г - /, z' - г ¦ к',
или
х' = -(- агу ~j~ алг, |
у' = %у + i3z, } (4.И)
zr = Ti^ + T2^+T3^- ^
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed