Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
угол рассеяния каждой частицы относительно центра масс системы. Таким
образом, зависимость между углами рассеяния В и Я можно получить
посредством перехода от системы координат, связанной с центром масс этих
частиц, к лабораторной системе координат.
Мы будем пользоваться следующими обозначениями, введёнными в § 3.1 этой
главы:
ri и vi - радиус-вектор и скорость частицы 1 в лабораторной системе
координат;
г'х и v[-радиус-вектор и скорость той же частицы в системе
координат, связанной с центром масс частиц;
R и R - радиус-вектор и скорость (постоянная) центра масс частиц в
лабораторной системе координат.
Согласно определению мы в любой момент времени будем иметь
Рис. 35. Рассеяние двух частиц в системе координат, движущейся вместе с
центром масс.
Рис. 34. Рассеяние двух частиц в лабораторной системе координат.
rx = R -I- г\
102
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 3
и соответственно
(c)х = /?+"'!•
На рис. 36 это векторное соотношение изображено для момента времени после
того, когда уже имело место рассеяние; в этот момент скорости (c)j и vt
образуют углы 9 и 0 с вектором R, идущим вдоль начального направления. С
помощью этого чертежа находим:
tg 0 --
sin 0
Vx cos 0 -]- I R j
(3.69)
Кроме того, согласно (3.2) имеем:
Рис. 36. Векторы скоростей в лабораторной системе координат и в системе
координат, движущейся вместе с центром масс.
Vi - - Г.
Щ
Так как рассматриваемая система консервативна, то после рассеяния, когда
взаимный потенциал частиц будет равен нулю, относительная скорость будет
иметь такую же величину, как начальная скорость (c)Q. Следовательно, после
рассеяния будем иметь:
"г
(3.70)
Что касается постоянной скорости центра масс, то она может быть найдена
из теоремы о сохранении количества движения, согласно которой
-f- т2) R = т^0,
откуда
Ь - Ji
R
т2
(c)0.
(3.71)
Подставив теперь (3.70) и (3.71) в (3.69), получим соотношение между
углами 3 и 0 в виде
sin 0
cos 0
nil
(3.72)
Отсюда видно, что если -тк во много раз меньше тг, то эти углы будут
приблизительно равны. Это объясняется тем, что в случае большого значения
тг частица 2 отталкивается очень слабо и практически может считаться
неподвижным центром силы.
Так как при переходе к лабораторной системе координат углы рассеяния
изменяются, то поперечные сечения рассеяния также будут при этом
изменяться. Зависимость между величинами о(0) и "/(Я) можно получить из
того условия, что число частиц, рассеиваемых внутри
§ 3.8]
ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ
103
данного телесного угла, должно быть в обеих системах одинаковым. Поэтому
можно написать:
где а'(Я) - поперечное сечение рассеяния в лабораторной системе
координат. Принципиально равенство (3.72) позволяет выразить 0 через 0, и
тогда а'(Я) можно будет выразить через с (6), причём это можно сделать
для произвольного отношения т^т^. При этом ясно, что в случае рассеяния
а-частиц, исследованном Рёзерфордом, соответствующие поправки будут малы,
так как т1 равно здесь 4 атомным единицам, а т2 обычно равно не менее чем
100 атомным единицам. Если, однако, эти массы равны друг другу (как в
случае системы нейтрон - протон), то соответствующие поправки будут
максимальными. Равенство (3.72) примет тогда вид
В случае т1 = т2 максимальный угол рассеяния, наблюдаемый в лабораторной
системе координат, равен 90°. Соответствующее поперечное сечение
рассеяния будет тогда равно
Описанное рассеяние можно назвать упругим в том смысле, что кинетическая
энергия системы остаётся после рассеяния такой же, как и до рассеяния.
Однако скорости частиц в лабораторной системе координат не будут при этом
оставаться неизменными. Рассмотрим, например, рассеивающую частицу.
Вначале она находится в покое, а после рассеяния приобретает некоторую
скорость, а следовательно, и кинетическую энергию. Но так как
кинетическая энергия системы должна остаться неизменной, то рассеиваемая
частица должна уменьшить свою скорость и свою кинетическую энергию. Таким
образом, процесс рассеяния сопровождается переносом кинетической энергии
от рассеиваемой частицы к рассеивающей. Это уменьшение можно вычислить с
помощью теоремы косинусов (см. рис. 36):
2тг/о (0) sin 0 dQ - 2тг/о/ (fl) sin 3 db,
или
(3.73)
tg-a
sin 0
= tgT
_0
2 '
cos 0 -j- 1
откуда
(mjm2 = 1).
(3.74)
o'(Я) = 4 cos So(23) (mjm2= 1).
(3.75)
(r)'2 - v\ -f - R2 - 2vxR cos 1),
104
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 3]
или, используя выражения (3.70) и (3.71):
(VA2 _ Ни /и) cos"__ чи 7 = р. (з.7б)
W m2\v0/ Щ + Щ
Полученное равенство представляет собой квадратное уравнение относительно
vjv0. В частном случае, когда тх - тг, оно имеет следующее особенно
простое решение:
^~- = cosD
Отсюда видно, что при 8 - 90° (в системе, связанной с центром масс, это
соответствует отражению назад, т. е. случаю 0 = тг) имеет место
максимальный перенос энергии, при котором отталкивающая частица т2
получает всю энергию частицы т1.
Перенос кинетической энергии посредством рассеяния имеет место при
