Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
интеграла на х, и условие получения эллиптического или более простого
интеграла будет иметь вид
^L+l + 2 = 0, 1, 2, 3, 4
или
П=-\- 5, +3, +1, -1, -3.
§ 3.6]
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
91
Таким образом, мы в общей сложности получили следующие шесть показателей
степени, приводящих к эллиптическим функциям:
" = + 5, +3, 0, -4, -5, -7.
Хотя этими значениями исчерпываются все показатели, получаемые
рассмотренным путём, однако можно показать, что при соответствующих
преобразованиях некоторые дробные показатели также приводят к
эллиптическим интегралам.
§ 3.6. Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния.
Законы Кеплера. Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату
расстояния, является одной из самых важных центральных сил и поэтому
заслуживает подробного рассмотрения. Эта сила и её потенциал выражаются
следующими функциями от г:
/ = - + , V=-J. (3.41)
Существует несколько путей интегрирования уравнения орбиты в
рассматриваемом случае. Проще всего это делается с помощью подстановки
значений (3.41) в дифференциальное уравнение орбиты (3.34):
I -mf(u) _mk n .9
d№ /2ма - /2 ' (3.4J)
" mk
Производя замену переменного посредством подстановки у- и ,
получим дифференциальное уравнение
2 + 3'= О-
Решение этого уравнения имеет, как известно, вид
y = b cos (0 - б'),
где b и б' - постоянные интегрирования. Возвращаясь к переменной г,
получаем это решение в виде
7 = ^11+ ecos(0 - e% (3.43)
где
Уравнение орбиты можно получить и с помощью формального интегрирования
уравнения (3.39). Хотя эта процедура длиннее непосредственного
интегрирования дифференциального уравнения (3.42), однако она имеет то
преимущество, что важная постоянная интегрирования е автоматически
получается при этом выраженной через энергию Е
92 ПРОБЛЕМА ДВУХ тел [гл. 3
и кинетический момент системы I. Перепишем равенство (3.39) в виде
6 = 0' - Г du , (3.44)
J 2тЕ ¦
/3 ' /2
где написанный интеграл является неопределённым, а б' представляет
постоянную интегрирования, определяемую начальными условиями,
которая не обязательно должна быть равна начальному углу
60
при /' = 0. Рассматриваемый интеграл является интегралом стандартного
типа *):
I dx 1 b-ir2cx .с.
--______-¦ = -- -¦____ arccos------^=-, (3.45)
У а -j- bx -f- ex'* У -с Yq
где
q = Ь2 - 4ас.
Применяя эту формулу к равенству (3.44), мы должны положить:
2тЕ , 2mk ,
a==~iг> b = ~W' с = -1'
и, следовательно, дискриминант q равен
ПткУ!, , 2Е12\
ч = (it)
После этих подстановок уравнение (3.44) примет вид
ч о/ тк
IJ - 0 - arccos -;----------- .
l/ \4-2ЕР
V 1 + ш
Разрешив его относительно и^?~, мы получим уравнение орбиты в следующем
окончательном виде:
mk
11а
1+^С08<Ч-Ч'>]' <3'46>
что согласуется с выражением (3.43), но е выражено здесь через Е и I.
Согласно уравнению (3.46) постоянную интегрирования 0' в этом уравнении
можно рассматривать как один из полярных углов орбиты. Заметим, что в
уравнение орбиты входят лишь три постоянных интегрирования из четырёх,
что является характерной особенностью уравнения орбиты. Это объясняется
тем, что четвёртая постоянная определяет
*) См., например, В. О. Pierce, A. Short Table of Integrals, № 161. Для
того чтобы получить (3.45), нужно к результату, даваемому Пирсом,
прибавить постоянную - тс/2, что, конечно, допустимо, так как
рассматриваемый интеграл является неопределённым.
§ 3.6]
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
93
начальное положение точки на орбите, и если нас интересует только Само
уравнение орбиты, то эта постоянная, очевидно, не должна фигурировать в
решении. Конечно, если мы захотим закончить решение и найти г и О как
функции времени, то эту недостающую постоянную нужно будет ввести. Желая,
например, воспользоваться теоремой о сохранении кинетического момента и
произвести интегрирование уравнения
тг2 йУI -Idl
с помощью (3.46), мы должны будем определить начальный угол Й0.
Известно, что общее уравнение конического сечения, имеющего фокус в
начале координат, имеет вид
i=C[l+ecos(0 -0')]. (3.47)
где г - эксцентриситет конического сечения. Сравнивая это уравнение с
уравнением (3.46), мы видим, что рассматриваемая орбита является
коническим сечением с эксцентриситетом
/ 1+ш- <3-48>
е > 1. Е> 0:
s=l, Е = 0:
в < 1. Е < 0:
s = 0, ?¦ = -
Тип орбиты зависит от значения а и определяется следующей таблицей:
гипербола, парабола, эллипс,
тКг
2^ : окружность.
Эта классификация согласуется с тем качественным исследованием орбит,
которое было основано на энергетической диаграмме эквивалентного
одномерного потенциала V'. Правда, условие для кругового движения
выглядит здесь несколько иначе, однако эквивалентность его прежнему
условию можно доказать, представляя полученное равенство в виде
Е = ^-7- . (3.49)
2тг*№
В случае круговой орбиты величины Т и V не будут меняться со временем, и
теорему о вириале можно записать в виде
r=-i V,
откуда полная энергия равна
E = ir=-|. (3.50)
94
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 3
Подставив теперь это значение Е в условие (3.49), получим:
