Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 33

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 161 >> Следующая

переменную t из уравнения (3.17). В результате получим
Рис. 30. Построение орбиты посредством последовательных отражений её
участков от апсидальных векторов.
88
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
После незначительных преобразований этого равенства и интегрирования в
пределах от /-0 до г находим
Как и в случае уравнений движения (3.18), (3.20), формула (3.37) даёт нам
формальное решение задачи. Однако практически это решение удаётся
получить не всегда, так как интеграл (3.37) часто не может быть выражен в
элементарных функциях. Фактически этот интеграл был исследован лишь для
некоторых конкретных законов изменения силы, из которых наиболее важным
является степенной закон. В этом случае
Однако и теперь он выражается в элементарных функциях лишь при
определённых значениях п. Если выражение, стоящее под радикалом, будет
полиномом не выше второй степени и, следовательно, знаменатель
подынтегрального выражения будет иметь вид
вых функциях. Это ограничение эквивалентно требованию, чтобы
Если исключить случай п = - 1, то мы получим таким путём два значения:
*) Случай п - - 1 из нашего рассмотрения исключается, так как потенциал
(3.38) получается тогда постоянным, что означает отсутствие силы. Если же
рассматривать п как показатель степени в функции /(г), то всё равно этот
случай нужно будет исключить, так как сила, изменяющаяся пропорционально
г~\ соответствует не степенному потенциалу, а логарифмическому. Такой
потенциал скорее характерен не для притяжения к точке, а для притяжения к
линейному источнику силы.
г
(3.36)
или, переходя к переменной и = - :
и
(3.37)
V = arn+1,
а сила / изменяется пропорционально п-й степени г *). При потенциале
(3.38) интеграл (3.37) получается равным
(3.38)
U
(3.39)
lAxw2-|--|- у, то интегрирование можно будет провести в круго-
- п - 1 =0, 1, 2.
п = - 2 и п = - 3,
§ 3.5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ
89
соответствующих случаю изменения силы обратно пропорционально квадрату
или кубу расстояния.
Другой легко интегрируемый случай получается при п- 1, т. е. при линейном
законе изменения силы. В этом случае уравнение (3.39) можно записать в
виде
е = 90- I du...........(з.зэо
о ! Гп".г. 2та 1 4 '
Р и2
J ГЧтЕ :
V -
что после подстановки
и2 = х, du
dx
2У х
в интеграл правой части уравнения (3.390 даёт
"='j"-4|-7=s=w=,' <3-40>
J У ~~jT х /2 х
т. е. мы опять получаем интеграл рассмотренного типа.
Таким образом, мы можем получить решение в элементарных функциях в трёх
следующих случаях:
ге= 1, - 2, -3.
Это не означает, однако, что при других показателях степени интеграл
(3.39) не выражается в элементарных функциях; это возможно и при других
п, но в этом случае нам придётся иметь дело с менее известными функциями.
Например, возможны такие значения п, при которых интеграл (3.39)
оказывается эллиптическим и решение выражается через эллиптические
функции.
Согласно определению эллиптический интеграл равен
J R (х, ш) dx,
гае R - любая рациональная функция х и о), а со равно
ш = У axi -\- (За:3 Д- ух2 -(- 8дс -f-
При этом а и р не могут, конечно, одновременно равняться нулю, так как
тогда можно будет выразить этот интеграл через круговые функции. Можно
показать (см. Whittaker and Watson, Modern Analysis, 4-е изд., стр. 512),
что любой такой интеграл может быть выражен через круговые функции и
эллиптические интегралы Лежандра первого, второго и третьего рода, для
которых имеются полные и подробные таблицы. Свойствам этих интегралов и
их связи с эллиптическими функциями посвящена обширная литература, где
90
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[ГЛ. 3
этот вопрос изложен исчерпывающим образом. Эти функции не требуют для
своего применения какого-нибудь более тонкого математического аппарата,
чем круговые функции, хотя они и менее обычны. Из определения
эллиптических интегралов следует, что интеграл в выражении (3.39) можно
выразить через эллиптические функции при
п = - 4, - 5.
Мы можем попытаться представить интеграл в другой форме, тоже приводящей
к эллиптическому интегралу. Умножим для этого числитель и знаменатель
подынтегрального выражения на up, где р - некоторый целый показатель
степени. Тогда интеграл примет вид
и р du
J ^ ^ Г'
где выражение, стоящее под радикалом, будет полиномом выше четвёртого
порядка, за исключением случая р=1. Следовательно, интеграл не будет
сложнее эллиптического интеграла лишь при
- я -1 +2 = 0, 1, 2, 3, 4
или
n = -f- 1, 0, - 1, - 2, - 3.
Но при га = -{- 1, -2, -3 этот интеграл выражается через кру-
говые функции, а случай п - - 1 мы исключаем. Следовательно, только при п
- 0 эта процедура приводит к эллиптическим функциям.
Кроме того, интеграл эллиптического типа можно получить с помощью
подстановки и2 = х. Интеграл (3.39) примет тогда вид
1 [* dx
2-------------------Г-------------------
)уЧ*-Ч* 2 -
и приведётся к эллиптическому при (-га -J- 1)/2, равном 3 или
4,
что даёт нам ещё два показателя степени:
п = - 5, - 7.
Наконец, мы опять можем умножить числитель и знаменатель найденного
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed