Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 32

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 161 >> Следующая

Так, например, из неё можно очень просто вывести закон Бойля для
идеальных газов (см. Lindsay, Physical Statistics, стр. 70). Практически
нам часто бывает нужно уравнение состояния для неидеальных газов. В этом
случае силы будут состоять не только из реакций связей, заставляющих газ
оставаться внутри сосуда, но также из сил взаимодействия между
молекулами.
Можно показать, что если силы Fi будут складываться из движущих сил Fi и
сил трения /j, пропорциональных скоростям точек, то вириал системы будет
зависеть только от сил Силы/г в этом случае не оказывают на него никакого
влияния. При этом, конечно, предполагается, что движение системы не
прекращается вследствие трения, т. е. что постоянно поступает энергия,
поддерживающая движение системы. В противном случае все средние значения
будут при неограниченном росте т стремиться к нулю.
Если силы, действующие на систему, имеют потенциал, то теорема о вириале
принимает вид
Для отдельной материальной точки, движущейся под действием центральной
силы, равенство (3.27) даёт
Если, например, V есть степенная функция г
где показатель степени выбран так, чтобы сила F была пропорциональной гп,
то
(3.26)
i
(3.27)
г
V = arn+i,
Равенство (3.28) примет вид
- п 4-1 7т
86
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
В частном случае, когда сила F обратно пропорциональна квадрату
расстояния, показатель п будет равен -2, и теорема о вириале принимает
хорошо известную форму
f = - jV. (3.30)
§ 3.5. Дифференциальное уравнение орбиты и интегрируемые степенные
потенциалы. Переходя к рассмотрению различных специальных случаев
центральной силы, мы несколько изменим постановку нашей задачи. До
сих пор мы считали, что решение задачи
означает нахождение г и 0 как функций времени при заданных
постоянных интегрирования Е, I и др. Однако чаще всего нам при-
ходится иметь дело не с этими функциями, а с уравнением орбиты, т. е. с
такой зависимостью г от О, из которой исключён параметр t. В тех случаях,
когда сила является центральной, это исключение выполняется особенно
легко, так как уравнения движения содержат тогда t только в качестве
переменной дифференцирования. Действительно, уравнение движения (3.8)
даёт нам в этом случае соотношение
ldt = mr2db, (3.31)
из которого получается соотношение, связывающее производные по t и по 9:
<3-32>
Эти соотношения можно использовать для преобразования уравнения движения
(3.12) в дифференциальное уравнение орбиты. Кроме того, ими можно
воспользоваться для интегрирования уравнений движения, заданных в форме
(3.17), что даст нам непосредственно уравнение орбиты. Сначала мы пойдём
по первому пути.
Из соотношения (3.32) видно, что вторая производная по t равна
а2 _ 1 d ( 1 d dfi mr3 d0 Krtif2 rfS ,
г).
и следовательно, уравнение Лагранжа (3.12) принимает вид l_d I I dr\
Р
г* db \mr2 rf0 ) mr* - JV>- (d.dd)
Чтобы упростить уравнение (3.33), воспользуемся соотношением
гa dfl rf0
И, перейдя таким путём к новой переменной и==~, получим РиР /сРи . \
,, .
"ТГ(Ж2- + Я)==-¦(3-34)
§ 3.5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ
87
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее
орбиту в случае, когда известен закон изменения силы /. Если же уравнение
орбиты нам известно, т. е. если дано г как функция б, то с помощью этого
уравнения мы можем найти закон изменения силы f(r).
Исходя из уравнения (3,34), можно сделать некоторые общие заключения о
характере орбиты. Можно показать, например, что она симметрична
относительно точек, в которых радиус г имеет максимум или минимум. Для
того чтобы сделать это, мы должны показать, что орбита не меняется при
отражении от полярного радиуса такой точки. Выберем для этого систему
координат таким образом, чтобы полярная ось проходила через одну из этих
точек. Тогда угол б будет здесь равен нулю и указанное отражение можно
будет выполнить посредством замены б на -б. Дифференциальное уравнение
орбиты (3.34), очевидно, инвариантно по отношению к такому
преобразованию. Кроме того, начальные условия
и - и(0), {-^ -0 для 0=0
также не меняются при указанном преобразовании. Следовательно, уравнение
орбиты не изменяется при замене 0 на -б, что и требовалось доказать.
Таким образом, орбита симметрична относительно апсидаль-ных векторов.
Отсюда следует, что, зная часть орбиты между двумя такими векторами, мы
можем построить всю орбиту. Для этого достаточно отразить указанный
участок относительно одного из апсидальных векторов и получить таким
путём соседний участок орбиты. Этот процесс следует продолжать до тех
пор, пока не будет получена вся орбита, как это показано на рис. 30.
Для любого конкретного закона изменения силы уравнение орбиты получается
посредством интегрирования дифференциального уравнения (3.34). Однако
незачем проделывать эту процедуру во всех подробностях, так как большая
часть работы была уже нами проделана при рассмотрении уравнения движения
(3.12). Поэтому сейчас остаётся лишь исключить с помощью (3.31)
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed