Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 31

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 161 >> Следующая

1) при г -у со он должен умень-
шаться медленнее, чем -• 2) при г -> О
1
он должен возрастать медленнее, чем .
Первое из этих требований обеспечивает преобладание потенциала над
центробежным членом при больших г, а второе - преобладание центробежного
члена над потенциалом при малых г.
Если потенциал не удовлетворяет
этим требованиям, то качественная картина движения изменится, однако для
общей характеристики орбит всё ещё можно будет пользоваться методом
эквивалентного потенциала. Пусть, например, мы имеем притягивающий
потенциал
^т. е. Диаграмма энергии,
соответствующая этому случаю, изображена на рис. 27. Для энергии Е здесь
возможны два вида движения, зависящих от начального значения г.
Если г0 будет меньше чем гх, то движение будет ограниченным, и г всё
время будет оставаться меньше, чем rv так что в конце концов точка может
пройти через центр силы. Если же г будет в начале движения больше, чем
г2, то оно будет и всё время больше, чем гг. Движение будет тогда
неограниченным, и точка никогда не сможет попасть внутрь "потенциального
отверстия". Начальное, условие г1 < г0 < гг является здесь физически
невозможным.
Другой интересный пример даёт нам линейно изменяющаяся восстанавливающая
сила (гармоническое колебание). В этом случае
Рис. 26. Эквивалентный одномерный потенциал силы, обратно
пропорциональной квадрату расстояния, при Е = В этом случае точка будет
двигаться по круговой орбите.
сохраняется для любого
Рис. 25. Пример ограниченной орбиты.
/ - - kr и V = -j kr2.
§ 3.4]
ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ
83
Если кинетический момент I равен нулю, то рассматриваемое движение будет
прямолинейным, и тогда V' = V. Этот случай представлен на рис. 28. Для
любой положительной энергии движение является ограниченным и, как
известно, представляет собой простое гармоническое колебание. Если I ф 0,
то мы получим картину,' изображённую на рис. 29.
При всех физически возможных значениях энергии это движение будет
ограниченным и не будет проходить через центр силы. Легко видеть, что
орбитой этого движения является эллипс, так как при f= - kr составляющие
fx и fy равны соответственно
/*
ky.
Отсюда следует, что рассматриваемое движение является суперпозицией двух
взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты, что
в общем случае приводит к эллиптической орбите. Известным примером такого
движения служат малые колебания сферического маятника. Заметим, между
прочим, что обычные фигуры Лиссажу получаются вёртой степени расстояния,
в результате сложения двух взаимно
перпендикулярных синусоидальных колебаний, частоты которых относятся, как
целые числа. Следовательно, движение под действием центральной силы /= -
kr даёт нам простейшую из фигур Лиссажу.
Рис. 27. Эквивалентный -одномерный потенциал для притягивающей силы,
обратно пропорциональной чет-
Рис. 28.
§ 3.4. Теорема о вириале. Мы сейчас установим ещё одно свойство движения
под действием центральной силы. Его можно получить как частный случай
весьма общей теоремы, справедливой для широкого круга различных систем -
так называемой теоремы
84
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
о вириале. От ранее рассмотренных теорем она отличается тем,
что имеет статистический характер, т. е. рассматривает различные
механические величины, осреднённые по времени.
Рассмотрим произвольную систему материальных точек, определяемых
векторами ri и находящихся под действием сил (включая
реакции связей). Уравнения движения этой системы имеют вид
Pi = Fi- 0-1)
Рассмотрим величину
0 = 'Epi-ri,
i
где суммирование производится по всем точкам системы. Её полная
производная по времени равна
+ (3.23)
1 i
причём первый член этой суммы можно записать в виде
2 К • рх = 2 rnfi ¦ ri = 2 mtvZi = 2 T,
i i i
а второй - в виде
2 P i * 1 2 ^i '
i i
[на основании (1.1)]. Тогда равенство (3.23) примет вид
jt%Pi-ri = 2T+^/i-ri- (3-24)
г г
Для того чтобы перейти к средним значениям фигурирующих здесь величин,
нужно проинтегрировать это равенство по времени от нуля до некоторого х и
затем разделить этот интеграл на х:
Z
if dG ,, dG 0=r , V С
T J -Itdt^-Tt=2T+
0 i
или
= -°<°>Ь (3-25)
i
Если движение 3fofi системы является периодическим, т. е. значения
координат всех её точек повторяются через определённый промежуток
времени, то, выбрав х равным периоду этого движения, мы сделаем правую
часть равенства (3.25) равной нулю. Аналогичный вывод можно сделать и в
случае непериодического движения, если только координаты и скорости всех
точек системы остаются ограниченными..
§ 3.4]
ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ
85
В этом случае величина |0| имеет верхнюю границу, и, выбрав т достаточно
большим, можно сделать правую часть равенства (3.25) сколь угодно малой.
В каждом из этих случаев мы будем иметь
Правая часть этого равенства называется вириалом Клаузиуса, а само
равенство (3.26) выражает так называемую теорему о вириале.
В указанном виде эта теорема очень полезна в кинетической теории газов.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed