Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
у 2т У 2 т.
Таким образом, средний атом остаётся при этом колебании в покое, а два
крайних колеблются в строго противоположных фазах, как показано на рис.
69, Ь. (Это связано с тем, что они должны сохранять постоянное количество
движения.)
Рассмотрим теперь третье главное колебание, т. е. положим ш^ = (!)3. Так
как вычисления оказываются здесь не столь простыми.
360
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10
как в предыдущих случаях, то мы приведём лишь конечные резуль' таты этих
вычислений. Коэффициенты ац имеют здесь следующие значения:
а^7фЩ' ию=7ф?)
(10.56с)
Крайние атомы имеют здесь одинаковые амплитуды и фазы колебания, а
средний - другую амплитуду и строго противоположную фазу (см. рис. 69,
с).
Любое продольное колебание молекулы (не содержащее поступательного
движения) будет линейной комбинацией главных колебаний с частотами ш2 и
и>3. Амплитуды и фазы этих колебаний определяются, конечно, начальными
условиями.
До сих пор мы говорили только о продольных колебаниях молекулы, хотя
реальная молекула будет колебаться и в направлениях, перпендикулярных к
её оси. Получить полную систему главных колебаний в этом случае, конечно,
труднее, так как молекула будет иметь девять степеней свободы.
Принципиально здесь, конечно, нет никаких трудностей, но алгебраическая
сторона этого исследования оказывается очень сложной, и поэтому мы не
имеем возможности подробно проводить его. Однако эти результаты можно
получить на основе общих качественных соображений.
В случае самого общего движения рассматриваемой молекулы число её нулевых
частот будет равно пяти, так как здесь будут три степени свободы для
поступательного движения и только две для вращательного. (Вращение
молекулы вокруг её оси, очевидно, не имеет смысла и поэтому не даёт
нового типа движения.) Следовательно, эта молекула будет иметь четыре
нетривиальных главных колебания. Но так как два из них являются
продольными и были уже нами рассмотрены, то остаётся рассмотреть лишь два
поперечных колебания. Дальнейшие упрощения можно получить, исходя из
соображений симметрии. Из осевой симметрии молекулы следует, что частоты
двух её поперечных колебаний должны быть одинаковыми, так как оси у и z
являются совершенно равноправными. Поэтому поперечное колебание каждого
крайнего атома будет вырождающимся, причём осями у и z здесь могут
служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости,
перпендикулярной к оси молекулы. Суммарное поперечное движение атомов
определяется амплитудами колебаний вдоль осей у и z и их фазами.
Рис. 70. Поперечные колебания симметричной трёхатомной молекулы.
§ 10.5] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ
361
Если имеют место эти колебания и если они совпадают по фазе, то каждый
атом будет двигаться по прямой, проходящей через положение его
равновесия. Но если фазы этих колебаний не совпадают, то суммарное
движение будет происходить по эллипсу Лиссажу (так же, как в двумерном
изотропном осцилляторе).
Из симметрии молекулы с очевидностью следует, что амплитуды крайних
атомов должны быть одинаковыми. Кроме того, подробный расчёт показывает,
что крайние атомы должны двигаться вдоль фигуры Лиссажу в одинаковом
направлении. Отсюда следует, что центральный атом должен при этом
двигаться в противоположном направлении, так как кинетический момент
молекулы должен оставаться постоянным. Рис. 70 иллюстрирует это движение
для случая, когда разность фаз основных колебаний равна 90°.
§ 10.5. Вынужденные колебания и диссипативные силы. Свободные колебания
возникают в том случае, когда систему выводят из положения равновесия и
затем предоставляют самой себе. Однако часто наблюдаются такие колебания,
при которых внешние силы действуют на систему не только в момент ? = 0,
но и в дальнейшем. Частота такого вынужденного колебания определяется
тогда не собственными частотами системы, а частотой возмущающей силы. Что
же касается вычисления амплитуд таких колебаний, то эта задача сильно
упрощается, если пользоваться главными координатами, полученными при
исследовании свободных колебаний.
Обозначим через Fj обобщённую силу, соответствующую координате Тогда
согласно (1.46) обобщённая сила Q{, соответствующая главной координате
r,it будет равна
В главных координатах уравнения движения системы будут иметь вид
т. е. будут представлять систему, состоящую из п неоднородных
дифференциальных уравнений. Зная функции Qi(t), мы можем решить её, и
хотя это решение будет сложнее, чем в случае свободных колебаний, однако
преимущество главных координат сохраняется и здесь, так как каждое из
уравнений (10.58) содержит лишь одну координату.
Изменение возмущающей силы со временем часто совершается по
синусоидальному закону. Примером может служить возмущающая сила в виде
давления звуковой волны, действующей на систему, так как Qi будет иметь
тогда ту же частоту, что и звуковая волна. Другой пример даёт нам
многоатомная молекула, на которую падает пучок монохроматического света.
