Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 139

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 161 >> Следующая

(10.49)
m 0 0
T = 0 M 0
0 0 m
Поэтому вековое уравнение этой системы запишется в виде
k - ш2т - k 0
| V - ч>2Т| = -k 2k -m2A4 - k
0 - k k - tsflm
или
ш2 (k - ш2т) [k (M -f- 2m) - и>гМт] =- 0.
Решив это кубическое уравнение, получим:
.-/I- ^/W+Щ-
0,
(10.50)
(10.51)
(10.52)
Первое из этих значений может показаться странным и даже вызвать сомнение
в правильности полученного результата. Дело в том, что оно не согласуется
с представлением о колебательном движении, так как при = 0 изменение
соответствующей главной координаты будет описываться уравнением
= 0,
характерным не для колебания, а для равномерного движения. Однако именно
в этом и заключается ответ на возникающий вопрос, так как ясно, что
молекула может, не изменяя своей потенциальной
358
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. 10
энергии, перемещаться вдоль оси х как твёрдое тело *). Поэтому "частота"
такого движения должна обращаться в нуль, ибо при этом не появляются
силы, противодействующие ему. Таким образом, из трёх степеней свободы
одна степень соответствует перемещению молекулы как твёрдого тела.
В связи с нулевыми собственными частотами можно сделать следующее общее
замечание. Из равенства (10.19) видно, что нулевое значение ш может иметь
место только в том случае, когда потенциальная энергия не является
определённо положительной (т. е. когда она может обращаться в нуль, даже
если не все та равны нулю). Именно такой случай и имеет место в
рассматриваемой системе, так как функция (10.46) обращается в нуль при %
= = %
(равномерное поступательное движение молекулы). Следовательно, энергия V
не является здесь определённо положительной.
Так как частота = 0 не относится к числу интересующих нас существенных
частот колебания, то желательно поставить задачу так, чтобы с самого
начала исключить корень (% = 0. Проще всего сделать это, введя требование
(связь), чтобы центр масс молекулы всё время оставался в начале
координат. Тогда будем иметь условие
m(x1-j- х2)-{- Мх3 - 0, (10.53)
позволяющее исключить из функций V и Т одну из трёх координат. Таким
путём мы получим задачу с двумя степенями свободы (см. задачу 2 в конце
этой главы).
Движение молекулы вдоль своей оси является лишь одним из типов движения
твёрдого тела. Однако если рассматривать задачу о колебаниях по всем трём
направлениям, то у нас появится шесть степеней свободы, соответствующих
движению молекулы как твёрдого тела. Тогда она сможет не только
равномерно и поступательно двигаться вдоль трёх осей, но и равномерно
вращаться вокруг них. В любой подобной системе с п степенями свободы
всегда будет шесть частот, обращающихся в нуль, и только п - 6 частот,
отличных от нуля. Уменьшение числа степеней свободы здесь можно получить
заранее, налагая на координаты требования о сохранении количества
движения и кинетического момента.
Нулевые собственные частоты могут встретиться не только тогда, когда
система имеет возможность перемещаться как твёрдое тело. Они имеют место
и тогда, когда потенциал V таков, что в положении равновесия обращаются в
нуль как первые, так и вторые его производные. Малые колебания возможны
при этом тогда, когда четвёртые производные от V не обращаются в
положении равновесия в нуль (третьи производные должны быть равны нулю
для устойчивости равновесия). Однако колебания системы не будут
*) Равновесие, которое не нарушается при отклонении системы от
равновесного положения, называют безразличным.
§ 10.4] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
359
в этом случае гармоническими, и поэтому здесь нельзя пользоваться обычным
методом малых колебаний. К счастью, колебания такого рода встречаются
редко.
Вернёмся теперь к исследованию собственных частот рассматриваемой
молекулы. Мы видим, что и>2 можно рассматривать как частоту колебания
массы т., подвешенной к пружине с жёсткостью k. Поэтому мы можем ожидать,
что в колебании с этой частотой участвуют только крайние атомы молекулы,
а средний атом остаётся при этом неподвижным. Это предположение
подтверждается исследованием собственных векторов каждого из главных
колебаний.
Составляющие Яу определяются уравнениями
{k - щт) aij - ka2j - 0, )
- ftoy + (2ft - wjM)a2j -ka3j = 0, 1 (10.54)
- ka2j -j- (k - соjm) a3j = 0 j
и нормирующим условием
(10.55)
тре-
Этот
Пусть j - 1. Тогда о)^ = ш1 = 0, и на основании первого и тьего уравнений
(10.54) заключаем, что ап = а21 - я31. результат следовало, конечно,
ожидать, так как рассматриваемое движение является поступательным (рис.
69, я). Согласно условию
(10.55) величина каждого из этих коэффициентов будет равна:
1
0)1"
Y^m + М
1
'12 ¦
'13 ¦
Y2.
¦М'
(10.56а)
Ь)
Пусть теперь j - 2. Тогда разность (k-иг-tri)-{k-иг,т) обращается в нуль,
и из уравнений (10.54) видно, что а22-
с)
Рис. 69. Продольные главные колебания симметричной трёхатомной молекулы.
;0 (как мы и предполагали),
а ai2 -
'32'
я
Учтя затем нормирующее условие (10.55), получим:
1 1
22 -
12
Ял
, "аа . (10.56Ь)
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed