Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
V = ±yVri. (10.37)
Точно так же кинетическую энергию (10.6) можно записать в виде следующего
матричного произведения:
7'==i^Tvj. (10.38)
Но транспонированная матрица ¦"] (состоящая из одной строки) связана с ?
соотношением
(см. задачу 2 гл. 4). Поэтому будем иметь:
V' -~j?AVA?,
или, учитывая (10.25):
(10.39)
т. е.
(10-40)
к
Что касается кинетической энергии, то она в новых координатах выражается
ещё проще. Так как скорости преобразуются так же, как координаты, то Т
можно записать в виде
Т = -i- |aTAv
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ
355
Но так как матрица А является "ортогональной" [см, (10.210), то это
выражение принимает вид
Г = (Ю.41)
или
(10-42) к
Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что Т и V в новых координатах
являются суммами квадратов и не содержат каких-либо смешанных членов.
Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что
матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное
преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести
момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями
эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как
кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами
квадратов (как и момент инерции), причём обе они диагонализируются
матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является
частным случаем известного алгебраического процесса одновременного
приведения двух квадратичных форм к сумме квадратов.
Уравнения движения в новых координатах тоже становятся более простыми.
Лагранжиан системы будет теперь равен
(10-43>
к
и поэтому уравнения Лагранжа примут вид
0. (10.44)
Решая эти уравнения, будем иметь
= (10.45)
что можно, конечно, получить и непосредственно из равенств (10.28).
Следовательно, каждая из новых координат является строго периодической
функцией с частотой, равной одной из собственных частот. Поэтому
координаты С обычно называют главными координатами
системы. Очевидно, они являются также разделяющимися координа-
тами, а величины u)kt/2iz представляют собой угловые переменные.
Как показывают равенства (10.35), каждой главной координате соответствует
колебание системы с определённой частотой. Каждое из таких колебаний
называется главным. При любом таком колебании все координаты % изменяются
с одной частотой и имеют в каждый
Малые колевАНИя
[гл. 10
момент одинаковые фазы *); относительные амплитуды этих координат
определяются матричными элементами aik. Полное движение системы
получается при этом в результате суперпозиции главных колебаний с учётом
их амплитуд и фаз, определяемых коэффициентами Ск.
Из изложенного видно, что полное колебание системы не содержит частот,
кратных основным. Причина этого заключается в том, что мы считали
колебания малыми. Именно поэтому мы могли потенциал системы представить в
виде квадратичной формы, что характерно для гармонического движения.
Кроме того, переходя к нормальным координатам, мы получили вследствие
этого лагранжиан (10.43) в виде суммы лагранжианов нескольких
гармонических осцилляторов (с частотами шк). Таким образом, малые
колебания системы можно рассматривать как результат возбуждения различных
гармонических осцилляторов, колеблющихся с различными амплитудами и
фазами **)
§ 10.4. Свободные колебания трёхатомной молекулы. Чтобы проиллюстрировать
изложенные методы, рассмотрим подробно задачу
о свободных колебаниях симметрич-т ОГГХЭТГ)ПГ. т ной трёхатомной
молекулы (рис. 68).
Пустьр крайние aT0Mb/3TJ моле'_
7 2 3 кулы имеют массы т, а средний -
Рис. 68.^ Модель линейной симмет. массу М и пусть в состоянии равно-
ричной трёхатомной молекулы. весия расстояние между крайними
атомами будет равно 2Ь. Для простоты мы рассмотрим только колебания
атомов вдоль линии, на которой они расположены, причём связь между ними
будем представлять себе в виде двух пружин, соединяющих эти атомы.
Жёсткость каждой такой пружины будем считать равной к. В качестве
координат, определяющих положение этих атомов, возьмём их абсциссы. Тогда
потенциальная энергия V будет равна
К - | (хг - ^ - bf + ~ (хя - х2 - bf.
Введём теперь координаты
определяющие смещение атомов относительно положений равновесия. Тогда
будем иметь:
v02 - и - лоз л02
*¦) Если коэффициенты а имеют противоположные знаки, то эти фазы могут
быть строго противоположными.
**) Подобная картина имеет место в квантовой теории электромагнитного
поля. Частотам гармонических осцилляторов здесь соответствуют частоты
излучения, а аплитуды возбуждения получают здесь дискретные значения,
представляющие число фотонов каждой частоты.
§ Ю.4]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
357
или
К = Т + 2^1 + Г'1 ~ 2т'1712
• '^)2
Следовательно, матрица V будет иметь вид:
k - k 0
v = - k 2k - k
0 - k k
(10.46)
(10.47)
Кинетическая энергия этой системы выражается ещё более просто:
т = тг(т)1-Мз)Ч-
М
Ъ-
(10.48)
Следовательно, матрица Т является диагональной и имеет вид:
