Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 137

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 161 >> Следующая

нормирования и т(т-1) условиям ортогональности, то в общей сложности у
нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения
всех этих постоянных.
Этот процесс ортогонализации собственных векторов, соответствующих
кратному корню к, такой же, как процесс ортогонали-
а
и
(10.27')
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ ГЛ. 10
зации произвольной системы функций. Он также подобен процессу, которым мы
пользовались в главе 5 в случае кратных собственных значений тензора
инерции. Поэтому неопределенность, вносимую в выбор векторов а двукратным
корнем можно объяснить тем, что все векторы некоторой плоскости
оказываются при этом собственными. В этом случае мы просто выбираем в
этой плоскости два любых перпендикулярных направления и принимаем их за
новые главные оси. Собственные векторы матрицы А будут тогда ортами этих
осей.
Частоты, относящиеся к кратным корням векового уравнения, часто называют
вырождающимися. Следует, однако, заметить, что этот термин имеет здесь не
тот смысл, какой придавался ему в предыдущей главе, так как там мы
считали частоты вырождающимися даже в том случае, когда они различны,
лишь бы только они были соизмеримы.
§ 10.3. Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе
мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не
при одном значении частоты ш, а в общем случае при п различных значениях.
Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких
колебаний с частотами ш1;. . ., шп. Эти частоты, являющиеся решениями
векового уравнения, называют частотами свободного колебания или
собственными частотами системы.
Общее решение уравнений движения можно теперь записать в виде
rn = 2jckaike h > (10.28)
где Ck - комплексный масштабный коэффициент, соответствующий данной
собственной частоте. Здесь, однако, можно сделать возра-жение, состоящее
в следующем. Так как кк = wk, то каждому решению векового уравнения
соответствуют две собственные частоты: и -шк. И хотя собственный вектор
ак будет для них
одним и тем же, однако масштабные коэффициенты Ск и Ск могут иметь при
этом любые различные значения. Поэтому решение рассматриваемых уравнений
должно описываться не формулой (10.28), а формулой
¦% = 2 агк (С* е~ 1'"*' + Ске~гш^). (10.29)
Ответом на это возражение служит то, что интересующее нас движение
описывается не комплексным решением, а лишь его вещественной частью,
которая в формулах (10.28) и (10.29) имеет вид
Ъ = 2 fkaik cos 0"** + 8л-).
к
(10.30)
§ 10.3]
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ
353
где амплитуда fk и фаза определяются начальными условиями. Поэтому мы
можем пользоваться как формулой (10.28), так и формулой (10.29), однако
первая из них является, конечно, более удобной.
Ортогональность матрицы А сильно облегчает определение коэффициентов Ск
по заданным начальным условиям. При ? = 0 вещественная часть выражения
(10.28) будет равна
(0) = S (Re С&) о,*, (10.31)

где символ Re Ск означает вещественную часть Ск. Аналогично будем иметь
А; (0) = - 2 (Im Ск) aikmk, (10.32)
где Im Ск обозначает мнимую часть Ск. Из этих 2п уравнений можно
определить вещественные и мнимые части всех п констант Ск. Чтобы решить,
например, уравнения (10.31), их можно умножить на и просуммировать по i
и j. Тогда согласно (10.21) будем иметь
2 tyu (0) afl = 2 (Re С,) Ti3aikajt = 2 (Re Ck) bkl,
i, j i,j, к к
или, выполнив суммирование по 1с:
Re Сг = 2 Tijf\i(0) (10.33)
i,j
Аналогичным путём можно получить формулу и для мнимых частей
коэффициентов Ск, которая будет иметь вид
1т Сг = - I V (0) afl. (10.34)
I
г, О
Таким образом, формулы (10.33) и (10.34) позволяют с помощью матриц Т и А
вычислять комплексные коэффициенты Сг непосредственно по начальным
условиям.
Движение, описываемое уравнением (10.28), может служить примером много-
периодического движения, рассмотренного в главе 9. Правда, оно является
особенно простым движением этого типа, так как состоит только из основных
частот и совершенно не содержит их линейных комбинаций. Однако, несмотря
на это, рассматриваемое движение не является строго периодическим, так
как при несоизмеримости собственных частот координаты т[г никогда не
примут своих начальных значений. Следовательно, координаты -у]* не будут
в общем случае разделяющимися координатами, изменяющимися по строго
периодическому закону. Однако мы сейчас увидим, что такие координаты
можно получить с помощью точечного преобразования координат Гц.
ЗЙ4 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ |ГЛ. Ю
Новые координаты мы определим с помощью следующих уравнений, связывающих
их с первоначальными координатами
% = (10.35)
3
Если -tit и С* рассматривать как элементы матриц и] и ?, состоящих из
одного столбца, то эти уравнения будут иметь вид
tj - А?- (10.36)
Выведем теперь выражения для потенциальной и кинетической энергий системы
в новых координатах. Согласно (10.4) потенциальная энергия V равна
V =
что в матричной форме может быть записано в виде произведения
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed