Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 135

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 161 >> Следующая

вещественность величины Х7; обеспечит вещественность и всех остальных
составляющих вектора йк. [Любой комплексный коэффициент Са; в равенстве
(10.9) можно получить тогда за счёт множителя С.] Умножая теперь (10.15)
на aik и суммируя по г, получаем
2 Vijailfijk == ~^'к 2 TijCljjfijk' i,j i,j
откуда
2 vtiaikaji (10Л9)
2 ^ijalkdjic
Знаменатель этой дроби равен удвоенной кинетической энергии системы в
случае, когда т); = ай, и так как составляющие aik вещественны, то он
должен быть числом положительным. Точно так же
§ 10.2] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ 347
числитель этой дроби равен удвоенному значению V при rti ~ aik. Но так
как при = 0 V имеет минимум, то числитель этой дроби не может быть
отрицательным. Таким образом, числитель и знаменатель дроби (10.19)
являются числами неотрицательными, причём знаменатель отличен от нуля.
Следовательно, А;. есть число неотрицательное.
Вспомним теперь, что через л мы обозначили величину о>2. Следовательно,
положительные А соответствуют вещественным частотам колебания. Если бы
потенциал системы не имел в положении равновесия минимума, то числитель
дроби (10.19) мог бы быть отрицательным, что привело бы к появлению
мнимых частот, вызывающих неограниченное возрастание функции %(/?) по
экспоненциальному закону. Следовательно, такое движение было бы
неустойчивым. Таким образом, .мы получили обещанное математическое
доказательство того, что устойчивость движения требует минимума
потенциала.
Вернёмся теперь к равенству (10.17). Учитывая, что собственные значения X
и собственные векторы а являются вещественными, его можно записать в виде
ih-(10.170
Ь J
Если все корни векового уравнения различны, то будем иметь
2 Тцацат = 0 (1ф k). (10.20а)
!. j
Вспомним теперь, что величины не вполне определяются уравнениями (10.15).
Для устранения этой неопределенности мы потребуем, чтобы
2 Тчаф}к--~ 1, (10.20Ь)
и:
что даст нам п уравнений, однозначно определяющих составляющие каждого из
п векторов ак*)- Объединив теперь равенства (10.20а) и (10.20Ь), получим
2 Тyd - о1к. (10.21)
г, j
*) Уравнения (10.20Ь) можно записать в таком виде, что достаточность этих
уравнений для устранения неопределённое(tm) в коэффициентах аус станет
ясной. Предположим, например, что мы хотим определить величину а^, причём
отношения ajkl^ik уже найдены нами из уравнений (10.15). Тогда, записывая
(10.20Ь) в виде
V т. а*к ^
Zj а1к я 2
i, з
мы можем вычислить левую часть этого равенства и получить
348
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10
Если среди корней X имеются одинаковые, то из равенства (10.17') нельзя
получить равенство (10.20а), так как Хк может оказаться равным Хг. Этот
исключительный случай мы рассмотрим несколько позже, а сейчас будем
считать, что коэффициенты а^к удовлетворяют как уравнению (10.10), так и
уравнению (10.20а).
Условие (10.21) можно записать в форме матричного равенства
АТА = 1 ¦ (10.21')
Мы видим, что оно несколько напоминает условие ортогональности
АА = 1 (10.22)
[см. равенство (4.36)], хотя и отличается от него присутствием матрицы Т-
Мы сейчас покажем, что равенство (10.21') тоже выражает условие
ортогональности, но только не в декартовой системе координат.
Обычные условия ортогональности требуют, чтобы
1) каждый из векторов ак был единичным:
ak-ak = Sa% = 1:
2) два любых вектора аг и ак были взаимно перпендикулярны:
а1 ' ак ~ 2 ajlajk - 0 j
Рассмотрим теперь некоторую косоугольную систему координат, и пусть
метрический тензор определяемого им пространства будет равен Т- Элементы
этого тензора будут величинами постоянными, и поэтому длина какого-либо
вектора ак будет в этом пространстве равна
&к ' == 2 Tijaikajk
г, j
[см. уравнение (7.42)]. Аналогично, скалярное произведение векторов аг и
ак будет здесь равно
"z ¦ "й = 2 Тцапа]к-
г, j
Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый
вектор ак является единичным [равенство (10.20Ь)] и что при 1Фк векторы
аг и ак взаимно перпендикулярны [равенство (10.20а)]. Следовательно,
условие (10.21') является условием ортогональности матрицы А в
пространстве конфигураций с метрическим тензором J. В декартовом
пространстве таким метрическим тензором является единичный тензор 1, и
поэтому условие (10.21') сводится здесь к обычным условиям
ортогональности.
§ 10.2| СОЬСГВКННЫГ ЗНАЧЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 1ЛАВНЫХ oOEti .lily
В главе 4 мы рассматривали подобное преобразование матрицы С с помощью
матрицы В, определяя его равенством
С' = ВСВ~1
[см. равенство (4.41)]. Теперь мы введём понятие конгруэнтного
преобразования матрицы, понимая под ним преобразование
СУ = АСА, (10.23)
где С-преобразуемая матрица, а А - преобразующая. (Если матрица А
ортогональна, то А - А""1, и между этими преобразованиями пет разницы,
что становится ясным, если обозначить А-'1 через В.) Поэтому равенство
(10.21') можно рассматривать как выражение того факта, что конгруэнтное
преобразование матрицы Т с помощью матрицы А превращает ее в единичную
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed