Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
относительно ш2. Корни его определяют те частоты, при которых функции
(10.9) могут служить решениями уравнений (10.8). Амплитуды с, можно
определить при этом из уравнений (10.10), которые при каждом из найденных
значений о>2 могут быть решены относительно at (точнее, все амплитуды at
могут быть выражены через одну из них).
Для того чтобы получить правильное математическое представление, мы
рассмотрим наиболее простой вариант общей задачи. Предположим, что
обобщённые координаты системы являются декартовыми координатами её точек.
Тогда кинетическая энергия системы будет содержать лишь квадраты
составляющих её скоростей. Введём теперь новые обобщённые координаты, для
чего каждую из декартовых координат разделим на корень квадратный из
массы соответствующей точки. Тогда кинетическая энергия Т будет равна
т. е. Tij станет равным Зу. Поэтому однородные уравнения (10.10)
упростятся и примут вид
где X - со2. Но эти уравнения подобны тем, которые встречались нам в
главах 4 и 5 при решении задачи о собственных значениях [см. уравнения
(5.22)]. Единственная разница состоит лишь в том, что сейчас мы имеем
дело не с трёхмерным пространством, а с "-мерным. Поэтому числа Ну можно
рассматривать как элементы матрицы V. состоящей из " строк и " столбцов,
а числа а{ - как составляющие "-мерного вектора а.
Систему уравнений (10.13) можно представить в виде одного векторного
уравнения
(10.12)
г
V{jCij -• X и,
j
(10.13)
У a = Ха
подобного уравнению (4.74). Уравнение (10.11) будет тогда вековым
уравнением, определяющим собственные значения А.
§ 10.2] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ II ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ 345
Так как матрица V симметрична и вещественна, то соответствующие
собственные значения также будут вещественны (см. § 5.4). Если образовать
матрицу Д> составленную из п систем {а{}, соответствующих п собственным
значениям, то подобное преобразование, осуществляемое с помощью А, должно
диагонализировать V (см. § 4.6). Кроме того, п собственных векторов а
будут ортогональными и, следовательно, диагонализирующая матрица А также
будет ортогональной.
Эти выводы справедливы не только в том частном случае, когда матрица из
коэффициентов Гу является диагональной; аналогичные результаты можно
получить и в общем случае. Если числа Гу рассматривать как элементы
матрицы Т> то систему уравнений (10.10) можно будет записать в виде
векторного уравнения
От обычного уравнения, определяющего собственные значения некоторой
матрицы, оно отличается тем, что в правой части его стоит не л, а АТ- Мы
сейчас рассмотрим соответствующие ему собственные значения, т. е. те
значения А, при которых это уравнение имеет нетривиальные решения. При
этом покажем, что они будут вещественными (так как матрицы Т и V являются
эрмитовскими), и, кроме того, они должны быть положительными. Помимо
этого, докажем, что собственные векторы а являются в известном смысле
ортогональными, а составленная из них матрица А диагонализирует как Т>
так и V, приводя Т к единичной матрице 1, а V - к матрице, по диагонали
которой стоят собственные значения А.
Поступая так же, как и в § 5.4, мы /-ю составляющую &-го собственного
вектора обозначим через а^к. Тогда при А==А& каждое из скалярных
составляющих уравнения (10.14) будет иметь вид
Составляя аналогичное уравнение для А = Аг и заменяя в нём все члены на
комплексно сопряжённые, получаем
Умножим теперь равенство (10.16) на а$к и просуммируем по j, а равенство
(10.15) умножим на а*г и просуммируем по I. Вычитая затем из первого
результата второй, получаем
У а - kja.
(10.14)
(10.15)
(10.16)
(10.17)
Положим теперь l-~k. Тогда будем иметь
346
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10
Покажем, что стоящая здесь сумма является вещественной и положительной.
Разобьем для этого ajk на вещественную и мнимую части, т. е. положим
ajk -
Тогда сумму (10.18) можно будет записать в виде
2 - s гда, + S +Щ тч
t " J 2 ' J ll J
где вследствие симметричности чисел Tjj последняя из написанных сумм
обращается в нуль (так как при перемене местами индексов и у изменяется
её знак). Следовательно, сумма
2 TtjajJca;k
является вещественной. Далее, из определения коэффициента Тц
[формула (Ю.6)] видно, что сумму 2 T'if-jiflik можно рассматривать
г, j
как удвоенную кинетическую энергию системы при % = "гл, а сумму 2 -
как удвоенную кинетическую энергию при 'гц = ф{к.
Но при любых вещественных скоростях кинетическая энергия положительна.
Следовательно, фигурирующая в (10.18) сумма не может равняться нулю, и
поэтому собственные значения \к должны быть вещественными.
Рассмотрим теперь составляющие собственного вектора ак, определяемого
уравнениями (10.15). Так как числа Хк являются вещественными, то
составляющие djk относятся друг к другу, как вещественные числа. Однако в
выборе этих составляющих имеется некоторая неопределенность, так как
согласно (10.15) одну из них можно выбрать произвольно. Пользуясь этим,
будем требовать, чтобы эта составляющая была числом вещественным, и тогда
