Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
небольшого возмущения, не выходит из небольшой окрестности первоначальной
конфигурации системы. Если же при бесконечно малом возмущении система
начинает неограниченно удаляться от первоначальной конфигурации, то
равновесие называют неустойчивым. Покоящийся маятник может служить
примером системы, находящейся в устойчивом равновесии, а яйцо,
поставленное на один из своих концов, - примером системы, находящейся
Рис. 67. Кривые потенциальной энергии вблизи положения равновесия.
в неустойчивом равновесии. Легко видеть, что если экстремум функции V
будет минимумом, то равновесие будет устойчивым. Для доказательства
предположим, что система отклоняется от положения равновесия и энергия её
увеличивается при этом на йЕ. Но так как в положении равновесия V имеет
минимум, то любое отклонение от этого положения вызывает увеличение V.
Поэтому на основании-закона о сохранении энергии можно сделать вывод, что
если бы эта система продолжала отклоняться от равновесия, то скорости её
уменьшались бы и в конце концов обратились бы в нуль. Это указывает на
ограниченность движения такой системы.
Если же некоторые отклонения от равновесия приводят к уменьшению V, то
они будут вызывать увеличение кинетической энергии системы и,
следовательно, скоростей её точек. Этот случай соответствует
неустойчивому движению. О характере равновесия системы можно судить на
основании графика кривой потенциальной энергии (рис. 67).
Более строгое математическое доказательство минимальности V в случае
устойчивого равновесия будет дано, в ходе последующих рассуждений.
342
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. 10
Нас будет интересовать движение системы непосредственно вблизи положения
устойчивого равновесия. Поэтому отклонения от этого положения мы будем
считать малыми и, раскладывая различные функции в ряд Тейлора около этого
положения, будем оставлять лишь члены низшего порядка. Положим
Яг - Яа1~\~'гЧ' (10.2)
где qoi- значения координат qi в положении равновесия. Принимая за новые
обобщённые координаты и раскладывая V в ряд около qoi, получаем
V (qv .... <7") - V (<7щ>. . ., qon) + ^ (¦^т)0 Ti
<">•*"
. dq{dq
i, 3
где согласно (10.1) члены, пропорциональные r(i, обращаются в нуль. Что
касается члена V(q0l, q0n), то, отсчитывая потенциальную
энергию системы от её положения равновесия, его тоже можно сделать равным
нулю. Тогда в качестве первого приближения для V получим
2 'Ъ ( dq,idq,-1 VrO - 2 ^ViPur'J' (1 °'4)
2 - х ,
г,} г,з
где через V ц обозначены производные > зависящие только от
равновесных значений qt. Отсюда следует, что Vij - V
Аналогичным образом можно разложить в ряди кинетическую энергию. Так как
связь между обобщёнными и декартовыми координатами не содержит в данном
случае t, то кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной
функцией скоростей qi [см. уравнение (1.62)]:
Т = у 2] == у 2 miJrnr'J' (10'5)
г, 3 г, 3
где коэффициенты m^ - некоторые функции координат qv Раскладывая каждую
из них в ряд Тейлора около положения равновесия, получаем
/ ()m {j \ ,
"у (?!••¦•• Яп) = Щ) foot- ¦ ¦ • • Чоп) + 2j \~дфГ)о Ък ~
Так как равенство (10.5) является квадратичным относительно т),-. то для
того чтобы получить первое (отличное от нуля) приближение тля Т, нужно в
этих рядах опустить все члены, кроме первых.
§ 10.2] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ 343
Таким образом, обозначая постоянные Мц(д, будем иметь
%п) чеРез Tij>
(10.6)
Постоянные Гу, очевидно, также являются симметричными. Согласно
выражениям (10.4) и (10.6) лагранжиан рассматриваемой системы имеет вид
Поэтому, считая \ обобщёнными координатами, мы получаем следующие п
уравнений движения:
(мы учли симметричность коэффициентов V^ и Гу). Каждое из уравнений
(10.8) содержит, вообще говоря, все координаты rti. Таким образом, мы
будем иметь систему совместных дифференциальных уравнений, определяющих
движение системы около положения равновесия.
§ 10.2. Собственные значения и преобразование главных осей. Уравнения
движения (10.8) являются линейными дифференциальными уравнениями с
постоянными коэффициентами. В такой форме уравнения часто встречаются в
теории электрических колебательных контуров. Поэтому решение их мы будем
искать в виде
где Cai - комплексная амплитуда колебания, соответствующая координате
т)4; коэффициент С введён нами для удобства как некоторый масштабный
коэффициент, одинаковый для всех координат. Действительному движению
отвечают, конечно, вещественные части функций (10.9). Подставив выражения
(10.9) в уравнения движения (10.8), мы получим следующие уравнения для
коэффициентов cif.
(10.7)
(10.8)
(10.9)
2(vv,-"2г,-;в,) = о.
j
(10.10)
Уравнения (10.10) образуют систему п линейных однородных уравнений с п
неизвестными ai и, следовательно, будут иметь
344
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 10
нетривиальные решения лишь при выполнении условия
Vn-**TU -(02 г12
^21 0)2 Т21 V-2-2-----Ш~Тоо
У31-со *Г81
Уд.
= 0. (10.11)
Уравнение (10.11) является алгебраическим уравнением га-й степени
